Gli equivalenti, uno strumento per il calcolo dei limiti

Quando due funzioni ammettono, in un punto, eventualmente all’infinito, lo stesso limite finito non nullo, il loro quoziente tende a 1. Questa constatazione a priori banale acquista interesse quando entrambi i loro limiti sono nulli oppure infiniti. Si può allora sostituire l’una all’altra nella ricerca del limite di un prodotto o di un quoziente. Si dice che le due funzioni sono equivalenti nell’intorno di quel punto. In realtà, questa definizione manca di rigore, perciò in genere se ne propone una più precisa (vedi riquadro). Quando si dispone di uno sviluppo, il primo termine non nullo è un equivalente della funzione nell’intorno del punto studiato. Nel seguito supporremo che lo studio sia condotto in 0, eventualmente dopo aver effettuato una traslazione.

Primi esempi -----------------

Lo sviluppo di Taylor di ordine 3 in 0 della funzione seno è

$\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+o\left(x^3\right),\backslash sin\; x\; =\; x-\; \backslash dfrac\{x^3\}\{6\}\; +\; o\; \backslash left(x^3\backslash right),$ ne deduciamo che la funzione seno è equivalente alla funzione x ↦ x nell’intorno di 0, poiché ${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1-{\displaystyle \frac{x^2}{6}}+o\left(x^2\right),\backslash dfrac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; 1-\; \backslash dfrac\{x^2\}\{6\}+\; o\; \backslash left(x^2\backslash right),$ tende chiaramente a 1 quando x tende a 0.

Consideriamo ora il prodotto h di due funzioni f e g, ossia h(x) = f (x) g (x), e supponiamo che la funzione g sia equivalente a g₁. Allora $h(x)=f(x)g_1(x){\displaystyle \frac{g(x)}{g_1(x)}},h(x)\; =\; f(x)g\_1(x)\; \backslash dfrac\{g(x)\}\{g\_1(x)\},$ purché g₁(x) non si annulli, salvo forse in 0. Ne deduciamo che h ammette un limite in 0 se e solo se anche h₁(x) = f (x) g₁(x) ne ammetta uno, e in tal caso tali limiti sono uguali poiché ${\displaystyle \frac{g(x)}{g_1(x)}}\backslash dfrac\{g(x)\}\{g\_1(x)\}$ tende a 1.