Les développements limités
Quoi de mieux qu’un polynôme pour approximer, au voisinage d’un point, une fonction alambiquée ? Mieux encore : si cette dernière est « suffisamment régulière », les coefficients de son développement limité sont ses dérivées successives ; c’est la fameuse formule de Taylor qui nous l’apprend. On a pourtant des surprises : l’adéquation entre développement limité à tout ordre et développement de Taylor est mise parfois en défaut. Merveilles des mathématiques, et en particulier de l’analyse, personne ne peut se passer des développements limités. Ils sont en effet indispensables dans les calculs de limites de fonctions, dans l’étude des points particuliers d’une courbe, mais aussi dans des calculs de probabilités.
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Strumenti indispensabili dell’analisi
Di fronte a funzioni un po’ contorte, chi non ha mai desiderato sostituirle con altre molto più elementari che avessero «lo stesso comportamento», per esempio dei polinomi? Grazie agli sviluppi limitati, in effetti, ciò è quasi sempre possibile, almeno localmente!
Alcuni controesempi inquietanti
Pensavate di sapere tutto sugli sviluppi limitati? Ecco alcuni controesempi spiazzanti...
Gli equivalenti, uno strumento per il calcolo dei limiti
Perché darsi pena di calcolare gli equivalenti di funzioni dall’aspetto «simpatico»? Per comprendere con precisione un comportamento locale o asintotico, e anche per le applicazioni! Senza queste tecniche, perfino i fogli di calcolo sarebbero incapaci di eseguire calcoli apparentemente innocui.
La genesi degli sviluppi di funzioni
I primi sviluppi in serie intere di funzioni furono concomitanti allo sviluppo del calcolo differenziale e integrale alla fine del XVII secolo. Troncandoli, si ottenevano di fatto sviluppi limitati!
Ha ancora dei bei resti
L’uso di uno sviluppo di Taylor troncato al posto della funzione stessa è giustificabile solo se tale approssimazione non modifica il calcolo delle proprietà studiate (limite, maggiorazione o altro). Per questo è importante il comportamento del resto.
Al servizio delle curve
Per magia della geometria analitica, le proprietà di una formula algebrica si traducono visivamente nelle curve associate. In questo continuo andirivieni, gli sviluppi limitati svolgono un ruolo assolutamente fondamentale.