Molti, per calcolare senza calcolatrice elettronica per un numero reale a «piccolo», sostituiscono questo calcolo con quello del valore , più facile da eseguire! Si può ricorrere a questo espediente? La domanda da porsi dovrebbe piuttosto essere: quale errore si commette così facendo? Si può sostituire con per x «vicino» a 0?
Più in generale, si può sostituire, sempre quando x è «piccolo», il valore f (x) di una qualunque funzione f con P(x), dove P è un polinomio, deducendone più facilmente il comportamento locale in 0 di f (x)? Ed è possibile in punti diversi da 0? Come formalizzare tutto questo?
Bisognò attendere la fine del 18º secolo e idee più chiare sulla nozione di limite perché si affermasse rigorosamente (vedi l’articolo « La genèse des expansions de fonctions ») la nozione di sviluppo limitato, che permette di rispondere a tutte queste domande.
Che cos’è uno sviluppo limitato?
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Sia f una funzione definita in un intorno di 0 (per esempio su un intervallo aperto ]‒a, a[, con a > 0) a valori reali, e sia n un intero maggiore o uguale a 1. La funzione f ammette uno sviluppo limitato di ordine n in 0 se esiste un polinomio P di grado minore o uguale a n tale che, per x in questo intorno, f (x) – P(x) sia trascurabile rispetto a *xn: ciò significa che f (x) – P(x) si scrive xn ε(x), dove ε(x) tende a 0 quando x tende a 0. Si esprime anche questo fatto dicendo che f (x) – P(x) è un o (xn) (si legge «o piccolo di xn*»).
