Muchos, para calcular sin calculadora electrónica 1+a\sqrt{1+a} para un número real a «pequeño», sustituyen este cálculo por el del valor 1+a21+\frac{a}{2}, ¡más fácil de obtener! ¿Tenemos derecho a recurrir a este truco? En realidad, la pregunta que deberíamos plantearnos es más bien esta: ¿qué error cometemos al proceder así? ¿Podemos sustituir 1+x\sqrt{1+x} por 1+x21+\frac{x}{2} para x «próximo» a 0?
De forma más general, ¿podemos sustituir, siempre que x sea «pequeño», el valor f (x) de una función f cualquiera por P(x), donde P es un polinomio, y deducir así más fácilmente el comportamiento local en 0 de f (x)? ¿Y es posible en valores distintos de 0? ¿Cómo formalizar todo esto?
Hubo que esperar hasta finales del 18.º siglo y a que las ideas sobre el concepto de límite fueran más claras para que se estableciera rigurosamente (véase el artículo « La genèse des expansions de fonctions ») el concepto de desarrollo limitado, que permite responder a todas estas preguntas.
¿Qué es un desarrollo limitado? -----------------------------------------
Consideremos una función f definida en un entorno de 0 (por ejemplo, en un intervalo abierto ]‒a, a[, con a > 0), de valores reales, y n un número entero mayor o igual que 1. La función f admite un desarrollo limitado de orden n en 0 si existe un polinomio P de grado menor o igual que n tal que, para x en ese entorno, f (x) – P(x) sea despreciable frente a *xn: esto significa que f (x) – P(x) se escribe como xn ε(x), donde ε(x) tiende a 0 cuando x tiende a 0. También se expresa diciendo que f (x) – P(x) es un o (xn) (se pronuncia «o pequeña de xn*»).