Dividir polinomios ---------------------
Un problema clásico para quien estudia las funciones consiste en buscar las asíntotas no verticales de una fracción racional A / B, donde A y B son dos polinomios de grados respectivos d1 y d2. La división euclídea de A entre B proporciona un cociente Q (de grado igual a d1 – d2) y un resto R (de grado estrictamente menor que d2) tales que A = BQ + R. Por tanto:
AB=X+RB.\frac{A}{B}=X+\frac{R}{B}.
En los casos en que la diferencia d1 – d2 es igual a 0 o a 1, el cociente Q puede escribirse como mx + p; además, el término R / B tiende entonces a 0 cuando la variable x tiende a infinito (tanto hacia + 3 como hacia – 3). Así, cuando la variable x adquiere un valor absoluto muy grande, A / B se comporta aproximadamente como la función que a x le asigna mx + p. La recta de ecuación y = mx + p es una asíntota de la fracción racional A / B. Esta recta es horizontal cuando m = 0 (es decir, cuando d1 = d2); es oblicua cuando m no es nulo (lo que ocurre cuando d1 = d2 + 1).
Busquemos así las asíntotas de la función f definida por (2x3 – 3x2 + x – 1) / (x2 + 1). No existe ninguna asíntota vertical, pues el denominador nunca se anula, ni ninguna asíntota horizontal, ya que los grados del numerador y del denominador no coinciden. En cambio, sí existe una asíntota oblicua: f (x) = 2x – 3 + (2 – x) / (x2 + 1). La recta de ecuación y = 2x – 3 es una asíntota.