Según el teorema de Bachet, si se dan dos números enteros a y b, y d es su máximo común divisor (o mcd), existen dos números enteros u y v tales que au + bv = d. Este teorema se generaliza a los polinomios, pues estos también disponen de una división euclídea. Para demostrarlo, se considera el conjunto de polinomios de la forma A U + B V y, más concretamente, su elemento de grado mínimo, del que se demuestra que es el mcd de A y B (véase el recuadro). Esta demostración conduce a un algoritmo de cálculo que, a partir de un polinomio de la forma A U + B V, permite deducir otro de grado inferior y repetir el proceso mientras sea posible.
Tomemos un ejemplo para describir el algoritmo de Euclides que permite determinar un par (U, V) tal que el grado de U sea estrictamente menor que el de B, y el grado de V, estrictamente menor que el de A. Sea *A = 3X3 + 2X2 + 2 y B = X2 – 2. Al dividir A entre B, se obtiene: A – B (3X + 2) = 6X + 6 y, al dividir B entre X + 1: B = (X + 1)(X – 1) – 1*. De ello se deduce la siguiente relación de Bézout:
A(X−1)+B(−3X2+X−4)=6.A (X-1) + B (-3X^2 + X-4) = 6.
De ello se concluye que el mcd de A y B es igual a 1; es decir, que A y B son primos entre sí.