Secondo il teorema di Bachet, dati due numeri interi a e b, e detto d il loro massimo comun divisore (o MCD), esistono due numeri interi u e v tali che au + bv = d. Questo teorema si generalizza ai polinomi, poiché anche l’insieme dei polinomi è dotato di una divisione euclidea. Per dimostrarlo, si considera l’insieme dei polinomi della forma A U + B V e, più precisamente, l’elemento di grado minimo, che si dimostra essere il MCD di A e B (vedi il riquadro). Da questa dimostrazione deriva un algoritmo di calcolo che, a partire da un polinomio della forma A U + B V, ne ricava un altro di grado inferiore, ripetendo l’operazione finché è possibile.
Prendiamo un esempio per descrivere l’algoritmo di Euclide che consente di determinare una coppia (U, V) tale che il grado di U sia strettamente minore di quello di B e il grado di V strettamente minore di quello di A. Siano *A = 3X3 + 2X2 + 2 e B = X2 – 2. Dividendo A per B, si ottiene: A – B (3X + 2) = 6X + 6 poi, dividendo B per X + 1: B = (X + 1)(X – 1) – 1*. Si ricava così la seguente relazione di Bézout:
Da ciò si deduce che il MCD di A e B è uguale a 1, cioè che A e B sono primi tra loro.
