Il problema dell’interpolazione polinomiale è il seguente: si conosce una funzione attraverso i suoi valori y0, y1, y2… yN in N + 1 punti x0, x1, x2… xN, e si cerca un polinomio P che assuma gli stessi valori negli stessi punti, ossia tale che P(*xi) = yi per ogni i* compreso tra 0 e N.
Per cinque punti passa una e una sola curva la cui equazione è un polinomio di grado al più 4.
La condizione si traduce in tante equazioni quanti sono i punti, quindi N + 1. A priori, P può essere determinato univocamente se dipende dallo stesso numero di parametri; ciò accade imponendo che P abbia grado al più N (il numero di punti meno uno). Infatti, la questione equivale allora a risolvere un sistema lineare con tante equazioni quante incognite che, salvo casi eccezionali, ammette sempre un’unica soluzione.
Per essere più concreti, consideriamo tre punti distinti (x0, y0), (x1, y1) e (x2, y2), e cerchiamo un polinomio di secondo grado, della forma P (x) = ax2 + bx + c, tale che P (x0) = y0, P (x1) = y1 e P (x2) = y2. Si tratta di risolvere il seguente sistema:
