Nella modellizzazione matematica, le equazioni derivanti da fenomeni reali generalmente non ammettono una soluzione esplicita esprimibile mediante funzioni elementari. Occorre quindi ricorrere a procedimenti di approssimazione e di risoluzione numerica.
È il caso, per esempio, di alcune equazioni differenziali. I metodi consistono generalmente nel calcolare il valore della soluzione soltanto in punti dati.
La teoria dell’approssimazione è un ambito della matematica applicata in cui funzioni «complesse» possono essere approssimate da funzioni usuali e «semplici», che ne riproducono il comportamento con una certa fedeltà. Per «semplice» si intende che si possono eseguire calcoli mediante algoritmi semplici, rapidi e stabili. Si studiano quindi metodi per stimare i valori delle funzioni con un margine d’errore accettabile.
Polinomi per l’approssimazione
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Il teorema di approssimazione di Weierstrass afferma che ogni funzione continua definita su un intervallo chiuso può essere approssimata uniformemente, con la precisione desiderata, da un polinomio. Mette così in evidenza la potenza delle approssimazioni polinomiali. Per questo, e per la loro semplicità (richiedono soltanto addizioni e moltiplicazioni), i polinomi sono spesso la prima scelta per approssimare le funzioni.
