Quando i valori di una funzione f sono troppo difficili da calcolare, sia «a mano» sia con uno strumento (calcolatrice o computer), si cerca di sostituire f con una funzione più semplice, per esempio un polinomio. Naturalmente, però, occorre che questa funzione sia «vicina» a f. Bisogna dunque stabilire in quale senso, ossia rispetto a quale distanza.
Il caso più naturale
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Siano f e g due funzioni definite e, per semplicità, continue su un intervallo [a, b]. La distanza tra f e g probabilmente più nota è quella indotta dalla norma uniforme: d( f , g) è il massimo scarto tra f (x) e g (x) al variare di x in [a , b]. In termini matematici, si scrive:
Naturalmente, occorre dimostrare che questa definizione soddisfa le proprietà di una distanza (vedi Les distances. Biblioteca Tangente n°81, POLE, 2023). Nessun problema: è proprio così! Per approssimare f con una funzione g più semplice, cercheremo dunque di rendere il valore d ( f , g) il più piccolo possibile. È chiaramente la distanza adatta se si vuole trovare una funzione g vicina a f in ogni punto dell’intervallo [a , b*].
