Alla ricerca degli asintoti

Dividere i polinomi ---------------------

Un problema classico per chi studia le funzioni è cercare gli asintoti non verticali di una funzione razionale fratta A / B, dove A e B sono due polinomi di grado rispettivamente d₁ e d₂. La divisione euclidea di A per B produce un quoziente Q (di grado pari a d₁ – d₂) e un resto R (di grado strettamente minore di d₂) tali che A = BQ + R. Si ha dunque:

Nei casi in cui la differenza d₁ – d₂ è uguale a 0 o a 1, il quoziente Q può essere scritto nella forma mx + p; inoltre, il termine R / B tende allora a 0 quando la variabile x tende all’infinito (sia verso + 3 sia verso – 3). Così, quando la variabile x diventa molto grande in valore assoluto, A / B si comporta approssimativamente come la funzione che associa a x mx + p. La retta di equazione y = mx + p è un asintoto della funzione razionale fratta A / B. Questa retta è orizzontale quando m = 0 (quindi quando d₁ = d₂); è obliqua quando m è diverso da zero (il che accade quando d₁ = d₂ + 1).

Cerchiamo dunque gli asintoti della funzione f definita da (2x³ – 3x² + x – 1) / (x² + 1). Non esiste alcun asintoto verticale, perché il denominatore non si annulla mai, né alcun asintoto orizzontale, poiché i gradi del numeratore e del denominatore non coincidono. Esiste invece un asintoto obliquo: f (x) = 2x – 3 + (2 – x) / (x² + 1). La retta di equazione y = 2x – 3 è un asintoto.