Per definire un numero, bisogna nominarlo ma anche scriverlo. La notazione frazionaria riguarda soltanto i razionali. Lo sviluppo decimale (o in una qualunque base) ne offre una soluzione. Questa scrittura presenta molti vantaggi, ma dipende comunque da un elemento arbitrario: la scelta della base (nelle nostre società si usa la base 10, ma ne sono possibili altre: 2, 8, 16 e 60 sono tra le più note). Lo sviluppo in frazione continua sfugge a questa critica. Di che cosa si tratta esattamente?
L’algoritmo di Euclide ----------------------
La nozione di frazione continua è legata alla divisione euclidea e si ritrova implicitamente nell’algoritmo di Euclide, enunciato dal matematico alessandrino nel settimo libro degli Elementi. Richiamiamo il procedimento.
Siano dati due interi positivi 0 < b < a ed effettuiamo la divisione euclidea a = bq1 + r1 con 0 ≤ r1 < b. Se r1 = 0, il procedimento si arresta; altrimenti possiamo riscrivere l’uguaglianza nel modo seguente: ab=q1+1b/r1\frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{b/r_1}.
Ripetiamo il procedimento con b e r1; la divisione euclidea dà allora b = r1 q2 + r2 con 0 ≤ r2 < r1; si ha quindi, se r2 non è nullo, br1=q2+1r1/r2\frac{b}{r_1}=q_2+\frac{1}{r_1/r_2}.