Cioccolato al latte? Cioccolato fondente? I più golosi esitano senz’altro ogni giorno fra diverse tavolette. Se ci limitiamo a queste due scelte, è davvero difficile evitare le ripetizioni. Che cosa significa? Indichiamo con L un cioccolato al latte e con N un cioccolato fondente. Il goloso volubile, che non vuole ripetere due volte la stessa degustazione, non può iniziare la sua serie di esperimenti gustativi con LL o NN. Cominciamo dunque con LN. Non possiamo proseguire con un cioccolato fondente (otterremmo LNN, con N ripetuta). Proseguiamo quindi con un cioccolato al latte: LNL. Qui l’amante del cioccolato è condannato alla ripetizione: LNLL (abbiamo ripetuto L) oppure LNLN (e abbiamo ripetuto il motivo LN). Si dice che i quadrati non sono evitabili.
D’accordo, ma allora che dire dei cubi? Si può scrivere una successione di L e N senza che vi compaia tre volte di seguito lo stesso motivo, come nella parola « blablabla »? La risposta è sì! E la costruzione ricorsiva di questa successione è più semplice di quanto sembri.
Dal cioccolato al binario
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Il primo matematico a imbattersi in questa celebre successione fu Eugène Prouhet (1817–1867), nel 1851, nell’ambito di un problema di aritmetica. Questa successione è così ricca da essere stata poi riscoperta in ambiti completamente diversi, in particolare da Axel Thue (1863–1922) nel 1912, per questioni di combinatoria delle parole, e poi da Marston Morse (1892–1977), padre della teoria di Morse in topologia, in un problema di geometria differenziale nel 1921! Da qui il nome di «parola (o successione) di (Prouhet–)Thue–Morse», o più semplicemente di «parola di Morse».
Lasciamo per un attimo le nostre golose questioni e indichiamo più comunemente con 0 un cioccolato al latte e con 1 un cioccolato fondente. Le cifre 0 e 1 vanno qui considerate come semplici caratteri, non come numeri. L’idea è partire dalla parola m0 = 0 e applicare a ciascun carattere la seguente piccola trasformazione: il morfismo definito da
(0) = 01 e (1) = 10.
