All’infinito senza fretta

Consideriamo i numeri 1, poi 1+ 1/2, poi 1 + (1/2) + (1/3), poi 1 + (1/2) + (1/3) + (1/4), e così via. Si chiamano numeri armonici e si indicano con H_n. Si ha dunque H₁ = 1, poi H₂ = 3/2, poi H₃ = 11/6, ecc.

Naturalmente, più si avanza nella successione, più i numeri aumentano, in virtù della relazione H_n+1 = H_n + 1/(n + 1). La crescita, però, non è rapida, come mostra l’elenco qui a fianco, che riporta la parte intera di alcuni numeri armonici. (Ogni volta, n è il più piccolo possibile tale che H_n superi l’intero indicato.) Come si vede, occorre arrivare a H₄ per superare 2, a H₁₁ per superare 3, a H₃₁ per superare 4… e a H_{40 427 833 596} per superare 25!

Benché i numeri armonici non abbiano fretta, tendono comunque all’infinito. La prima dimostrazione di questo risultato, senza dubbio la più nota, risale al 14^º secolo (vedi riquadro).