¿Chocolate con leche? ¿Chocolate negro? Los más golosos vacilan a diario entre varias tabletas. Si nos limitamos a estas dos opciones, resulta muy difícil evitar las repeticiones. ¿Qué queremos decir con ello? Denotemos con L un chocolate con leche y con N un chocolate negro. El goloso versátil, que no quiere repetir dos veces la misma degustación, no puede comenzar su serie de experiencias gustativas con LL o NN. Empecemos, pues, por LN. No podemos continuar con un chocolate negro (obtendríamos LNN: se repite N). Continuemos entonces con un chocolate con leche: LNL. Aquí, el amante del chocolate está condenado a la repetición: LNLL (hemos repetido L) o LNLN (y hemos repetido el patrón LN). Se dice que los cuadrados no se pueden evitar.
De acuerdo, pero ¿qué ocurre entonces con los cubos? ¿Podemos escribir una sucesión de L y N sin que aparezca tres veces seguidas el mismo patrón, como en la palabra « blablabla»? ¡La respuesta es sí! Y la construcción de esta sucesión por recurrencia es más sencilla de lo que parece.
Del chocolate al binario
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El primer matemático que se topó con esta célebre sucesión fue Eugène Prouhet (1817–1867), en 1851, al estudiar un problema de aritmética. Esta sucesión es tan rica que después fue redescubierta en ámbitos completamente distintos: en particular, por Axel Thue (1863–1922) en 1912, a propósito de cuestiones de combinatoria de palabras, y más tarde por Marston Morse (1892–1977), padre de la teoría de Morse en topología, al abordar un problema de geometría diferencial en 1921. De ahí el nombre de «palabra (o sucesión) de (Prouhet–)Thue–Morse», o, más sencillamente, «palabra de Morse».
Dejemos por un instante nuestras apetitosas cuestiones y denotemos, más habitualmente, por 0 un chocolate con leche y por 1 un chocolate negro. Las cifras 0 y 1 deben considerarse aquí simples caracteres, y no números. La idea consiste en partir de la palabra m0 = 0 y aplicar a cada carácter la pequeña transformación siguiente: el morfismo definido por
(0) = 01 y (1) = 10.
