Para definir un número, hay que nombrarlo, pero también escribirlo. La notación fraccionaria solo se aplica a los racionales. El desarrollo decimal (o en cualquier otra base) ofrece una solución. Esta escritura tiene muchas ventajas, pero depende de una elección arbitraria: la de la base (en nuestra sociedad utilizamos la base 10, pero hay otras posibles: 2, 8, 16 y 60 se encuentran entre las más conocidas). El desarrollo en fracción continua escapa a esta objeción. ¿De qué se trata exactamente?
El algoritmo de Euclides ----------------------
La noción de fracción continua está ligada a la división euclídea y se halla implícita en el algoritmo de Euclides, que el sabio alejandrino expone en el séptimo libro de los Elementos. Recordemos el procedimiento.
Dados dos enteros positivos 0 < b < a, efectuamos la división euclídea a = bq1 + r1, con 0 ≤ r1 < b. Si r1 = 0, el proceso se detiene; si no, podemos reescribir la igualdad así: ab=q1+1b/r1\frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{b/r_1}.
Reiteremos el procedimiento con b y r1; la división euclídea nos da entonces b = r1 q2 + r2, con 0 ≤ r2 < r1; si r2 no es nulo, obtenemos br1=q2+1r1/r2\frac{b}{r_1}=q_2+\frac{1}{r_1/r_2}.