Il numero aureo è spesso indicato con la lettera greca φ («phi»). Si tratta probabilmente di un riferimento allo scultore greco Fidia (verso − 490; verso − 430), la cui influenza fu considerevole e al quale si devono forse le sculture del Partenone ad Atene. È il simbolo che verrà adottato in questo dossier per indicare il numero aureo. Altri autori lo indicano con la maiuscola Φ o con un’altra lettera greca, τ («tau»).
Uno dei modi oggi più eleganti per definire φ è dire che è la soluzione positiva della seguente equazione polinomiale di secondo grado: x2 − x − 1 = 0.
Calcolandola con le celebri formule del trinomio, si trova φ=1+52\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}, il cui valore approssimato a meno di 10 −6 è 1,618034. Naturalmente se ne può calcolare un valore approssimato con tutte le cifre decimali che si vogliono, ma poiché il numero reale 5\sqrt{5} è irrazionale (non può scriversi come quoziente di due interi), la scrittura decimale di φ non può essere finita né periodica a partire da un certo punto (come può esserlo, per esempio, 0,892857142 85714285714…, dove la successione di cifre «285714» si ripete indefinitamente dopo le prime cifre 0,89: questa è la scrittura decimale del numero 25/28).
Uguaglianze a cascata -----------------------
L’altra soluzione φ’ della nostra equazione polinomiale di secondo grado è negativa. Usando le stesse formule, se ne trova il valore: φ′=1−52.\varphi ' = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2}. Il suo valore approssimato a meno di 10 −6 è −0,618034. Osservando che il prodotto delle radici dell’equazione vale -1 (poiché l’equazione può anche scriversi (x − φ) (x − φ’) = 0), si ha l’uguaglianza φ’ = −1 / φ.