Le nombre d’or est souvent noté avec la lettre grecque φ (« phi »). Il s’agit sans doute d’une référence au sculpteur grec Phidias (vers − 490 ; vers − 430), dont l’influence fut considérable et à qui on doit peut-être les sculptures du Parthénon à Athènes. C’est le symbole qui sera adopté dans ce dossier pour désigner le nombre d’or. D’autres auteurs le désignent avec la majuscule Φ ou par une autre lettre grecque, τ (« tau »).
L’une des manières les plus élégantes de nos jours pour définir φ est de dire que c’est la solution positive de l’équation polynomiale du second degré suivante : x2 − x − 1 = 0.
Si on la calcule à l’aide des fameuses formules du trinôme, on trouve φ=1+52\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} dont une valeur approchée à 10 −6 près est 1,618034. On peut, bien sûr, en calculer une valeur approchée avec autant de décimales que l’on veut, mais le nombre réel 5\sqrt{5} étant un nombre irrationnel (il ne peut pas s’écrire comme un quotient de deux entiers) l’écriture décimale de φ ne peut pas être finie, ni être périodique à partir d’un certain rang (comme peut l’être, par exemple, 0,892857142 85714285714… où la suite des chiffres « 285714 » se reproduit indéfiniment après les premiers chiffres 0,89 : cette écriture décimale est celle du nombre 25/28).
Des égalités en cascade -----------------------
L’autre solution φ’ de notre équation polynomiale du second degré est négative. En utilisant les mêmes formules, on trouve sa valeur : φ′=1−52.\varphi ' = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2}. Sa valeur approchée à 10 −6 près est −0,618034. En remarquant que le produit des racines de l’équation vaut -1 (car l’équation peut aussi s’écrire (x − φ) (x − φ’) = 0), on a l’égalité φ’ = −1 / φ.