Si sa poco dei pitagorici, se non che per loro «tutto è numero (intero)» e che il loro simbolo era il pentagramma. Avrebbero scoperto i numeri irrazionali con la diagonale del quadrato, ma secondo altri ciò sarebbe avvenuto con il numero aureo nel pentagramma. Comunque sia, ecco una dimostrazione geometrica dell’irrazionalità di φ, che è il rapporto tra la diagonale e il lato del pentagono regolare.
Cominciamo dal pentagono rosso. Se φ fosse un numero razionale, si potrebbe scrivere A/B, dove A è la diagonale del pentagono rosso e B il lato del pentagono rosso
(A > 0, B > 0, A e B interi e senza divisori comuni).
Allora b = A − B è un intero e, nel pentagono di lato b, il numero aureo, per definizione geometrica, è B/b, con b < A e A − B < B… il che contraddice l’ipotesi! Questo ragionamento elementare basta a dimostrare che φ è irrazionale.
