Se sabe poco de los pitagóricos, salvo que para ellos «todo es número (entero)» y que su símbolo era el pentagrama. Habrían descubierto los números irracionales con la diagonal del cuadrado, pero otros conjeturan que lo descubrieron con el número áureo del pentáculo. Sea como fuere, he aquí una demostración geométrica de la irracionalidad de φ, cociente entre la diagonal y el lado del pentágono regular.
Comencemos con el pentágono rojo. Si φ fuera un número racional, podría escribirse como A/B, donde A es la diagonal del pentágono rojo y B su lado
(A > 0, B > 0, A y B son enteros y no tienen ningún divisor común).
Entonces b = A − B es un entero y, en el pentágono de lado b, el número áureo, según su definición geométrica, es B/b, con b < A y A − B < B… ¡lo cual contradice la hipótesis! Este razonamiento elemental basta para demostrar que φ es irracional.
