Los equivalentes, una herramienta para calcular límites

Cuando dos funciones admiten el mismo límite finito no nulo en un punto, posiblemente en el infinito, su cociente tiende a 1. Esta observación a priori trivial cobra interés cuando sus límites son ambos nulos o ambos infinitos. Esto permite sustituir una función por la otra al buscar el límite de un producto o de un cociente. Se dice que ambas funciones son equivalentes en las proximidades de ese punto. En realidad, esta definición carece de rigor, por lo que suele proponerse otra más precisa (véase el recuadro). Cuando se dispone de un desarrollo, su primer término no nulo es un equivalente de la función en las proximidades del punto estudiado. En lo sucesivo, supondremos que el estudio se realiza en 0, tras efectuar una traslación si fuera necesario.

Primeros ejemplos -----------------

El desarrollo de Taylor de orden 3 en 0 de la función seno es

$\sin x=x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+o\left(x^3\right),\backslash sin\; x\; =\; x-\; \backslash dfrac\{x^3\}\{6\}\; +\; o\; \backslash left(x^3\backslash right),$ se deduce que la función seno es equivalente a la función x ↦ x en las proximidades de 0, pues ${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1-{\displaystyle \frac{x^2}{6}}+o\left(x^2\right),\backslash dfrac\{\backslash sin\; x\}\{x\}\; =\; 1-\; \backslash dfrac\{x^2\}\{6\}+\; o\; \backslash left(x^2\backslash right),$ tiende claramente a 1 cuando x tiende a 0.

Consideremos ahora el producto h de dos funciones f y g, es decir, h(x) = f (x) g (x), y supongamos que la función g es equivalente a g₁. Entonces $h(x)=f(x)g_1(x){\displaystyle \frac{g(x)}{g_1(x)}},h(x)\; =\; f(x)g\_1(x)\; \backslash dfrac\{g(x)\}\{g\_1(x)\},$ siempre que g₁(x) no se anula, salvo quizá en 0. De ello se deduce que h admite límite en 0 si y solo si h₁(x) = f (x) g₁(x) admite uno, y entonces ambos límites son iguales, pues ${\displaystyle \frac{g(x)}{g_1(x)}}\backslash dfrac\{g(x)\}\{g\_1(x)\}$ tiende a 1.