Los desarrollos limitados
¿Qué mejor que un polinomio para aproximar, en las cercanías de un punto, una función tan elaborada? Mejor aún: si esta última es «suficientemente regular», los coeficientes de su desarrollo limitado son sus derivadas sucesivas; es la famosa fórmula de Taylor que nos lo enseña. Sin embargo, tenemos sorpresas: la correspondencia entre el desarrollo limitado de cualquier orden y el desarrollo de Taylor a veces falla. Maravillas de las matemáticas, y particularmente del análisis, nadie puede prescindir de los desarrollos limitados. Son, en efecto, indispensables en los cálculos de límites de funciones, en el estudio de puntos particulares de una curva, sino también en cálculos de probabilidades.
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Instrumentos indispensables del análisis
Ante funciones algo rebuscadas, ¿quién no ha querido sustituirlas por otras mucho más elementales que tuvieran «el mismo comportamiento», por ejemplo polinomios? En realidad, gracias a los desarrollos limitados, ¡casi siempre es posible, al menos localmente!
Algunos contraejemplos inquietantes
¿Creías saberlo todo sobre los desarrollos limitados? Aquí tienes algunos contraejemplos desconcertantes...
Los equivalentes, una herramienta para calcular límites
¿Por qué molestarse en calcular equivalentes de funciones aparentemente sencillas? ¡Para comprender con precisión un comportamiento local o asintótico, y también por sus aplicaciones! Sin estas técnicas, ni siquiera las hojas de cálculo podrían efectuar cálculos aparentemente anodinos.
La génesis de los desarrollos de funciones
Los primeros desarrollos en serie de potencias de funciones coincidieron con el desarrollo del cálculo diferencial e integral a finales del siglo XVII. Al truncarlos, ¡se obtenían en realidad desarrollos limitados!
Aún conserva buenos restos
El uso de un desarrollo limitado en lugar de la propia función solo se justifica si esta aproximación no modifica el cálculo de las propiedades estudiadas (como un límite, una cota u otra propiedad). Por eso es importante el comportamiento del resto.
Al servicio de las curvas
Por obra de la geometría analítica, las propiedades de una fórmula algebraica se traducen visualmente en curvas asociadas. En este ir y venir constante, los desarrollos de Taylor desempeñan un papel absolutamente primordial.