Un desarrollo limitado que no procede de la fórmula de Taylor -------------------------------------------------------------------
Decir que la función f admite un desarrollo limitado de orden 0 en un entorno de 0 equivale a decir que f (x) = f (0) + o(1), es decir, que f (x) = f (0) + ε(x) con ε tendiendo a 0 en 0. En otras palabras, equivale a decir que f es continua en 0.
Decir que la función f admite un desarrollo limitado de orden 1 equivale a decir que f (x) = f (0) + ax + o(x), es decir, que f(x)−f(0)x=f′(0)+ε(x)\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0) + \varepsilon (x) con ε tendiendo a 0 en 0. Esto equivale a decir que f es derivable en 0 y que f ’(0) = a.
Podría pensarse que, para todo n ≥ 2, la función f admite un desarrollo limitado de orden n en un entorno de 0 si y solo si f es n veces derivable en 0. En un sentido, es cierto, pues si f es n veces derivable en 0, entonces, por la fórmula de Taylor, admite un desarrollo limitado de orden n. Sin embargo, ¡el recíproco es rotundamente falso!
Consideremos, en efecto, la función