Uno sviluppo limitato che non deriva dalla formula di Taylor -------------------------------------------------------------------
Dire che la funzione f ammette uno sviluppo limitato di ordine 0 in un intorno di 0 equivale a dire che f (x) = f (0) + o(1), ossia che f (x) = f (0) + ε(x) con ε che tende a 0 in 0. In altre parole, significa che f è continua in 0.
Dire che la funzione f ammette uno sviluppo limitato di ordine 1 equivale a dire che f (x) = f (0) + ax + o(x), ossia che f(x)−f(0)x=f′(0)+ε(x)\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0) + \varepsilon (x) con ε che tende a 0 in 0. Ciò equivale a dire che f è derivabile in 0 e che f ’(0) = a.
Si potrebbe essere tentati di congetturare che, per ogni n ≥ 2, la funzione f ammetta uno sviluppo limitato di ordine n in un intorno di 0 se e solo se f è derivabile n volte in 0. In un verso è vero poiché, se f è derivabile n volte in 0, allora, per la formula di Taylor, ammette uno sviluppo limitato di ordine n. Tuttavia, il viceversa è grossolanamente falso!
Consideriamo infatti la funzione