Notre cerveau fonctionne selon des réseaux de cellules. Des objets non définis, les neurones, sont interconnectés selon d’inextricables toiles de synapses. Chaque neurone est en communication avec dix mille autres et chaque réseau de neurones et de synapses correspond à un concept. Une des conséquences de cet agencement est que nos modes de pensée sont systématiquement linéaires. Les modèles engendrés par nos cerveaux le sont également. Par voie de conséquence, les mathématiques regorgent de représentations linéaires (correspondant surtout au « degré 1 » de l’algèbre et au concept de « droite » en géométrie), que ce soit sous la forme de systèmes d’équations ou encore de l’algèbre du même nom, sans parler des modèles d’ajustement en statistique (qui sont prioritairement et majoritairement linéaires). Mais il faudrait être naïf pour imaginer que le linéaire puisse être suffisant pour modéliser la complexité des situations que l’on souhaite décrire. Les mathématiciens entendent bien découvrir de nouveaux modes de pensée pour développer les mathématiques de demain. La notion de dérivée est un premier pas pour sortir du linéaire… tout en y restant localement. En effet, la dérivée peut être vue comme un taux de variation au voisinage d’un point. Ainsi, en considérant des accroissements Δx « suffisamment petits » pour que le rapport étudié ne « diffère pas trop » de la valeur de la dérivée, on peut écrire, pour une fonction f dérivable en x0 :
f(x0+Δx)≃f(x0)+f′(x0)Δxf(x_0+\Delta x)\simeq f(x_0)+f'(x_0)\Delta x
pour x = x0 + Δ x, soit une expression de la forme a + b Δ x, avec a et b des constantes. Une fonction dérivable en un point est donc localement linéaire. Ce concept est abondamment utilisé en analyse non standard : les accroissements Δx deviennent des infiniment petits, qui peuplent le halo des nombres infiniment voisins de 0. Intuitivement, une fonction dérivable vue au microscope est une droite. La puissance du microscope correspond au concept plus classique de voisinage.
Une promenade à pile ou face ----------------------------
Et si l’on étudie des phénomènes temporels ? Si l’on considère t0 comme l’instant présent, le signe de Δt va différencier le passé (Δt < 0) du futur (Δt > 0). En faisant l’hypothèse qu’un phénomène est dérivable, on suppose en fait que la dérivée de sa fonction existe quelle que soit la suite d’accroissements temporels Δt considérés. Mais seul le passé est observable ! On ne peut donc mesurer f (t) que pour des valeurs négatives de Δt. Mais sous l’hypothèse de dérivabilité, cela suffit pour estimer la valeur de la dérivée de f en t0. La connaissance du passé suffit à la détermination de f ’(t0 ), celle du présent permet la mesure de f (t0 ). Passé et présent suffisent donc à donner une description locale de l’évolution future du phénomène :