Il nostro modo di scrivere un numero intero M mediante le dieci cifre corrisponde a scomporre M in funzione delle potenze di 10. Per esempio, scriviamo 216 = 6 + 1 × 10 + 2 × 102. Sembra naturale, poiché conosciamo 216 attraverso la sua scrittura: il sistema di numerazione posizionale, che dobbiamo ai matematici indiani e arabi, usa questa scomposizione per scrivere i numeri. In realtà, le cifre 6, 1 e 2 si ottengono con un algoritmo molto semplice: 6 è il resto della divisione di 216 per 10 (più precisamente, 216 = 6 + 21 × 10). Analogamente, 1 è il resto della divisione euclidea di 21 per 10 (poiché 21 = 1 + 2 × 10). Resta infine 2, che è strettamente minore di 10; il procedimento si arresta.
L’arte di scrivere i numeri
L’algoritmo si può applicare sostituendo 10 con qualunque altro numero intero p maggiore o uguale a 2. Prendiamo, per esempio, p = 5 e scomponiamo così M = 216. Si ha 216 = 1 + 5 × 43, poi 43 = 3 + 8 × 5 e infine 8 = 3 + 1 × 5; poiché 1 è strettamente minore di 5, il procedimento si arresta. Come la successione dei resti (6, 1, 2) rappresentava 216 in base 10, (1, 3, 3, 1) lo rappresenta in base 5; dunque 216 = 1 + 3 × 5 + 3 × 52 + 1 × 53. Scomponiamo ora 216 con p = 3; otteniamo la successione (0, 0, 0, 2, 2); i primi tre zeri dimostrano che 216 è divisibile per 33. Con p = 2, otteniamo la successione (0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1); analogamente, 216 è divisibile per 8 = 23, il che spiega i tre zeri iniziali. Fissato un numero intero p ≥ 2, ogni numero positivo M può essere scomposto in questo modo (e viceversa, a ogni successione finita di interi strettamente minori di p corrisponde un tale numero; lo si può verificare considerando la scrittura dei numeri in base 10).
Una volta scritti gli interi positivi, si procede con due estensioni successive. La prima consiste nello scrivere i numeri decimali finiti, cioè quelli che, moltiplicati per una certa potenza di 10, danno un numero intero; si introducono collocando una virgola dopo la parte intera. Aggiungendo poi indefinitamente cifre dopo la virgola, si definiscono nuovi numeri: i reali, come limiti di numeri decimali finiti.
