Il nostro modo di scrivere un numero intero M mediante le dieci cifre consiste nello scomporre M in funzione delle potenze di 10. Per esempio, si scrive 216 = 6 + 1 × 10 + 2 × 102. Ciò sembra ovvio, poiché 216 ci è noto attraverso la sua scrittura: la numerazione posizionale, che dobbiamo ai matematici indiani e arabi, usa questa scomposizione per scrivere i numeri. In realtà, le cifre 6, 1 e 2 si ricavano con un algoritmo molto semplice: 6 è il resto della divisione di 216 per 10 (più precisamente, 216 = 6 + 21 × 10). Analogamente, 1 è il resto della divisione euclidea di 21 per 10 (poiché 21 = 1 + 2 × 10). Resta infine 2, che è strettamente minore di 10; il processo si arresta.
L’arte di scrivere i numeri
L’algoritmo può essere applicato sostituendo 10 con qualunque altro intero p maggiore o uguale a 2. Prendiamo per esempio p = 5 e scomponiamo così M = 216. Si ha 216 = 1 + 5 × 43, poi 43 = 3 + 8 × 5 e infine 8 = 3 + 1 × 5; poiché 1 è strettamente minore di 5, il processo si arresta. Come la successione dei resti (6, 1, 2) rappresentava 216 in base 10, (1, 3, 3, 1) lo rappresenta in base 5, e dunque 216 = 1 + 3 × 5 + 3 × 52 + 1 × 53. Scomponiamo ora 216 in base p = 3; si ottiene la successione (0, 0, 0, 2, 2); i primi tre zeri mostrano che 216 è divisibile per 33. Con p = 2, si ottiene la successione (0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1); analogamente, 216 è divisibile per 8 = 23, il che spiega i primi tre zeri iniziali. Fissato l’intero p ≥ 2, ogni intero positivo M può essere scomposto in questo modo (e viceversa, a ogni successione finita di interi strettamente minori di p corrisponde un tale numero; ce ne si può convincere considerando la scrittura dei numeri in base 10).
Una volta scritti i numeri interi positivi, si procede con due estensioni successive. La prima consiste nello scrivere i numeri decimali, cioè quelli che, moltiplicati per una certa potenza di 10, danno un numero intero; si introducono collocando una virgola dopo la parte intera. Aggiungendo poi indefinitamente cifre dopo la virgola, si definiscono nuovi numeri: i numeri reali, come limiti di numeri decimali.