Notre façon de noter un entier M à l’aide des dix chiffres correspond à décomposer M en fonction de puissances de 10. Par exemple, on écrit 216 = 6 + 1 × 10 + 2 × 102. Ceci paraît couler de source car 216 nous est connu par son écriture : la numération de position, que nous devons aux mathématiciens indiens et arabes, utilise cette décomposition pour noter les nombres. En réalité, ces chiffres 6, 1 et 2 se retrouvent par un algorithme très simple : 6 est le reste de la division par 10 de 216 (plus précisément, 216 = 6 + 21 × 10). De même, 1 est le reste de la division euclidienne de 21 par 10 (puisque 21 = 1 + 2 × 10). Il reste enfin 2, qui est strictement inférieur à 10 ; le processus s’arrête.
De l’art de noter les nombres
L’algorithme peut se faire en remplaçant 10 par n’importe quel autre entier p supérieur ou égal à 2. Prenons par exemple p = 5 et décomposons ainsi M = 216. On a 216 = 1 + 5 × 43, puis 43 = 3 + 8 × 5, et enfin 8 = 3 + 1 × 5 ; comme 1 est strictement inférieur à 5, le processus s’arrête. De même que la suite (6, 1, 2) des restes représentait 216 en base 10, (1, 3, 3, 1) le représente en base 5, et donc 216 = 1 + 3 × 5 + 3 × 52 + 1 × 53. Décomposons maintenant 216 pour p = 3 ; on obtient la suite (0, 0, 0, 2, 2) ; les trois premiers zéros prouve que 216 est divisible par 33. Avec p = 2, on obtient la suite (0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1) ; de même, 216 est divisible par 8 = 23, ce qui explique les trois premiers zéros du début. L’entier p ≥ 2 étant fixé, tout nombre M positif peut se décomposer ainsi (et inversement, à toute suite finie d’entiers strictement inférieurs à >p correspond un tel nombre ; on peut s’en convaincre en considérant l’écriture des nombres en base 10).
Les entiers positifs étant notés, on procède par deux extensions successives. La première consiste à noter les décimaux, c’est-à-dire ceux, qui multipliés par une certaine puissance de 10, donnent un nombre entier ; la notation se fait par le placement d’une virgule après la partie entière. En ajoutant ensuite indéfiniment des chiffres après la virgule, on définit de nouveaux nombres, ce sont les réels, comme limites de décimaux.