nombre décadique

Écrivez un nombre en base 10, puis imaginez que des chiffres continuent indéfiniment sur sa gauche. Le nombre …6667 est alors lu depuis la droite : ses premières tranches sont 7, 67, 667 et 6667. Chacune donne une approximation de plus en plus précise dans le monde décadique. Cette écriture inverse donc notre habitude : les chiffres ajoutés à gauche sont de nouveaux chiffres déterminés par les résidus, tandis que la partie à droite reste finie.

Un nombre décadique est une écriture en base 10 dont le développement comporte une infinité de chiffres à gauche de la virgule. La partie située à droite de la virgule peut être absente ou comporter un nombre fini de chiffres. Le sens de lecture pertinent commence par les unités, puis s'étend vers les dizaines, les centaines et les puissances croissantes de 10.

Lorsque le développement est infini à gauche et fini à droite, on parle de nombre décadique à virgule. Pour un nombre premier p, les entiers p-adiques sont notés Z_p et les rationnels p-adiques Q_p ; ces notations appartiennent à la théorie p-adique standard et ne désignent pas directement la construction en base 10.

La construction décadique est la construction 10-adique, ou b-adique avec b = 10 ; elle n'est pas le cas particulier p = 10 de la théorie p-adique standard. Il ne s'agit donc pas d'une nouvelle base d'écriture usuelle pour les nombres réels : c'est une manière de prolonger l'écriture décimale vers la gauche, en conservant une infinité de chiffres de ce côté.

On veut écrire le rationnel 1/3 sous forme décadique. Les données sont le dividende 1, le diviseur 3 et les puissances de 10 successives : 10, 100, 1000 et 10000.

À chaque étape, on cherche parmi les nombres qui prolongent la tranche précédente celui dont le produit par 3 laisse le reste 1 modulo la nouvelle puissance de 10, puis on le vérifie :
Modulo 10, le chiffre 7 convient, car 3 × 7 = 21 laisse le reste 1.
Modulo 100, le nombre 67 convient, car 3 × 67 = 201 laisse le reste 1.
Modulo 1000, le nombre 667 convient, car 3 × 667 = 2001 laisse le reste 1.
Modulo 10000, le nombre 6667 convient, car 3 × 6667 = 20001 laisse le reste 1.

Les chiffres se prolongent donc vers la gauche : 7, puis 67, puis 667, puis 6667. On note cette suite …6667 et on obtient l'écriture décadique de 1/3. Le contrôle est immédiat : à chaque rang, le produit par 3 se termine par 1.

Pour reconnaître un entier décadique, on part de son chiffre des unités et on ajoute des chiffres à gauche. L'écriture …0007 représente ainsi le même entier 7 dans cette convention, avec une suite de zéros qui se prolonge vers la gauche.

Pour traiter un rationnel dont le dénominateur est premier à 10, comme 1/3, on cherche successivement un reste correct modulo 10, puis modulo 100, puis modulo 1000. Cette lecture par tranches de droite permet de vérifier chaque nouveau chiffre sans prétendre obtenir une écriture décimale réelle ordinaire.

Pour un nombre premier p, la notation Z_p désigne les entiers p-adiques, tandis que Q_p désigne les rationnels p-adiques. Pour le cas décadique, on travaille directement avec les congruences modulo les puissances de 10 : il s'agit d'une construction 10-adique, et non du cas p-adique p = 10.

Un nombre décadique ne se confond pas avec un nombre décimal écrit en base 10. Le critère qui tranche est la direction de l'infinité : une écriture décimale usuelle peut avoir une infinité de chiffres à droite de la virgule, tandis que le nombre décadique possède une infinité de chiffres à gauche. Par exemple, …6667 est lu en ajoutant des chiffres à gauche, et non comme une suite décimale ordinaire commençant par 6667.

Un nombre décadique ne se confond pas non plus avec un entier p-adique. La construction en base 10 est dite 10-adique ; elle ne correspond pas à p = 10 dans la théorie p-adique standard, où p est premier. Changer la base change la construction de développements considérée.

Le piège principal est de lire …6667 comme une décimale ordinaire. Le symptôme est une tentative de comparer directement ses chiffres à droite de la virgule ou à une valeur réelle. Il faut au contraire lire les tranches depuis la droite et vérifier les congruences modulo 10, 100, 1000, puis les puissances suivantes de 10.

Une écriture à gauche infinie ne signifie pas que la partie à droite est toujours infinie. Le cas charnière est précisément celui où le développement est infini à gauche et fini à droite : c'est alors un nombre décadique à virgule. Il faut décrire séparément ces deux côtés avant de classer l'écriture.

Enfin, l'expression « p-adique avec p = 10 » est trompeuse dans la terminologie standard, car p doit être premier. Pour la base 10, il vaut mieux parler de construction 10-adique ; pour un nombre premier p, Z_p désigne les entiers p-adiques et Q_p les rationnels p-adiques.

Le prolongement naturel consiste à remplacer 10 par un nombre premier p et à étudier les nombres p-adiques. Les bases composées, comme 10, relèvent d'une construction b-adique distincte ; le nombre décadique est ainsi le cas b = 10. Pour p premier, les notations Z_p et Q_p permettent de distinguer les entiers des rationnels dans le cadre p-adique standard.