ArithmétiqueNotion · Glossaire
P-adiques (nombres)
Les nombres p-adiques sont une extension du corps des rationnels construite en complétant les rationnels pour la valeur absolue p-adique, où p est un nombre premier. Dans cette valeur absolue, un entier est d'autant plus proche de zéro qu'il est divisible par une grande puissance de p. Le corps des nombres p-adiques est noté Qp et contient les entiers p-adiques, qui forment un anneau noté Zp. Les nombres p-adiques jouent un rôle central en théorie des nombres et en géométrie arithmétique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier divisibilité par p, valuation et valeur absolue p-adique.
- Vérifier pas à pas que 1 + 2 + 4 + … converge vers −1 dans Q₂.
- Distinguer Qp, Zp, distance p-adique et distance ordinaire.
- Identifier les usages locaux en théorie des nombres et en géométrie arithmétique.
En clair
Regardons les nombres 1, 3, 7 et 15. Dans la distance habituelle, ils s’éloignent de −1. Avec la mesure 2-adique, c’est l’inverse : leurs écarts à −1 valent 2, 4, 8 et 16, donc sont divisibles par des puissances de 2 de plus en plus grandes.
Ils se rapprochent ainsi de −1 au sens 2-adique. Les nombres p-adiques prolongent cette autre manière de mesurer la proximité, pour un nombre premier p.
Définition
Soit p un nombre premier. Tout rationnel non nul x peut s’écrire sous la forme , où a et b sont des entiers non divisibles par p, avec b ≠ 0. L’entier relatif k, lui, est unique et compte les facteurs p. La valuation p-adique de x est ce nombre k, noté . Sa valeur absolue p-adique est définie par , et la valeur absolue de zéro vaut zéro.
Le corps des nombres p-adiques, noté Qp, est la complétion du corps des rationnels pour cette valeur absolue : il ajoute les limites nécessaires afin que toute suite de Cauchy p-adique converge. Les entiers p-adiques forment le sous-anneau Zp des éléments x tels que |x|p ≤ 1, ou, de façon équivalente, dont la valuation est non négative, c’est-à-dire vp(x) ≥ 0.
Cette valeur absolue est ultramétrique : pour deux nombres x et y, . Deux nombres sont donc très proches lorsque leur différence est divisible par une grande puissance de p.
Un exemple, pas à pas
Prenons p = 2 et les sommes partielles de 1 + 2 + 4 + 8 + … Les données sont les puissances successives de 2 et la somme Sn arrêtée au terme 2n.
1. Les quatre premières sommes sont S0 = 1, S1 = 3, S2 = 7 et S3 = 15.
2. La somme géométrique donne .
3. L’écart à −1 est donc .
4. Sa valeur absolue 2-adique vaut , quantité qui tend vers zéro.
2. La somme géométrique donne .
3. L’écart à −1 est donc .
4. Sa valeur absolue 2-adique vaut , quantité qui tend vers zéro.
La suite converge donc vers −1 dans Q2, bien qu’elle grandisse dans la distance ordinaire. Pour contrôler le calcul, on vérifie par exemple |15 + 1|2 = |16|2 = 1/16.
En pratique
Pour étudier des divisibilités par p, on regarde la valuation p-adique. Elle indique immédiatement l’exposant de p dans la factorisation p-adique d’un rationnel non nul ; cet exposant peut être positif, nul ou négatif, alors que la valeur absolue ordinaire mesure seulement sa taille.
Pour résoudre une équation entière, on peut d’abord chercher des solutions modulo p, puis modulo p2, p3 et ainsi de suite. Lorsqu’une solution se relève de façon compatible, ces approximations déterminent une solution p-adique ; le lemme de Hensel précise des conditions qui garantissent ce relèvement.
En théorie des nombres et en géométrie arithmétique, Qp fournit un point de vue local autour du nombre premier p. On le préfère aux nombres réels lorsque l’information recherchée porte sur les puissances de p et les congruences.
À ne pas confondre
Valeur absolue p-adique et valeur absolue ordinaire. La première mesure la divisibilité par p ; la seconde mesure la taille sur la droite réelle. Pour p = 2, le nombre 16 a une valeur absolue ordinaire égale à 16, mais une valeur absolue 2-adique égale à 1/16.
Qp et Zp. Qp est un corps : tout élément non nul y possède un inverse. Zp est le sous-anneau formé des éléments de valeur absolue p-adique au plus égale à 1. Ainsi, dans Q2, 1/2 existe mais n’appartient pas à Z2, car |1/2|2 = 2.
Complétion p-adique et complétion réelle. Toutes deux partent des rationnels, mais elles n’utilisent pas la même distance. La suite 1, 3, 7, 15, … converge vers −1 dans Q2 et diverge dans les nombres réels.
Limites et pièges
Le paramètre p doit être premier. La construction standard de Qp repose sur la valuation associée à un nombre premier. Remplacer p par un entier composé sans préciser une autre construction ne définit pas un corps p-adique de la même manière.
La convergence dépend de p. Une suite peut converger pour une distance p-adique et pas pour une autre. Les sommes 1 + 2 + … + 2n tendent vers −1 dans Q2, mais leurs termes successifs ne se rapprochent même pas pour une valeur absolue q-adique lorsque q est un nombre premier différent de 2.
Petit ne signifie pas proche de zéro au sens ordinaire. Le nombre 2n a une valeur absolue 2-adique égale à 2−n, qui tend vers zéro, tandis que sa valeur absolue ordinaire tend vers l’infini. Il faut toujours nommer la valeur absolue utilisée.
La distance ultramétrique change la géométrie. Si deux distances dans un triangle p-adique sont différentes, la troisième est égale à la plus grande des deux. Une intuition fondée uniquement sur les triangles euclidiens peut donc induire en erreur.
Pour aller plus loin
valuation. Ce prolongement détaille l’outil qui compte les facteurs premiers et commande la valeur absolue p-adique.
Ultramétrique (distance). Cette notion éclaire l’inégalité triangulaire renforcée et la géométrie particulière des voisinages p-adiques.
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