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corps valué
Un corps valué est un corps K muni d'une valuation, c'est-à-dire d'une application v : K → ℝ ∪ {+∞} satisfaisant les trois axiomes suivants : v(x) = +∞ si et seulement si x = 0 ; v(xy) = v(x) + v(y) pour tous x, y de K (caractère multiplicatif) ; v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) pour tous x, y de K (inégalité ultramétrique). La valuation introduit une notion de taille ou d'ordre de grandeur sur les éléments du corps. Les corps p-adiques ℚₚ, munis de la valuation p-adique, constituent les exemples les plus importants en théorie des nombres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois axiomes qui rendent une valuation compatible avec un corps.
- Calculer les valuations 3-adiques de 9, 18, de leur produit et de leur somme.
- Voir pourquoi l'inégalité ultramétrique peut être stricte.
- Distinguer valuation additive, valeur absolue et ordre usuel.
En clair
Prenons 9, 18 et 27. Les deux premiers nombres contiennent chacun deux facteurs 3, tandis que 27 en contient trois. Une valuation 3-adique enregistre précisément ce nombre de facteurs. Elle ne mesure donc pas la grandeur habituelle : 27 reçoit une valuation supérieure à celle de 18, non parce qu'il est plus grand, mais parce qu'il est davantage divisible par 3.
Un corps valué est un univers de nombres où cette nouvelle manière de mesurer respecte le produit et ne diminue pas de façon imprévisible lors d'une addition.
Définition
Un corps valué associe à un corps K une application appelée valuation. Pour chaque élément x de K, sa valeur v(x) est un nombre réel, sauf pour zéro auquel est réservée la valeur +∞. Cette convention distingue exactement zéro : aucun autre élément ne reçoit +∞.
La valuation est additive sur les produits : pour deux éléments x et y, . Elle satisfait aussi l'inégalité ultramétrique : . Ainsi, additionner deux éléments ne peut pas produire une valuation inférieure à la plus petite des deux valuations initiales. L'inégalité peut être stricte lorsque les termes se compensent.
Pour un nombre premier p, la valuation p-adique d'un nombre rationnel non nul compte l'exposant de p dans son numérateur et retranche celui du dénominateur. Elle peut donc être négative. Les complétions obtenues à partir de cette mesure donnent les corps p-adiques ℚp, centraux en théorie des nombres.
De quoi c'est fait
La structure comporte cinq pièces. Le corps K fournit l'addition, la multiplication et les inverses des éléments non nuls. L'application v attribue les valeurs dans ℝ ∪ {+∞}. La valeur spéciale de zéro garantit que v(x) = +∞ caractérise x = 0. La règle du produit transforme une multiplication dans K en addition de valuations. Enfin, l'inégalité ultramétrique encadre la valuation d'une somme.
Le corps seul ne fixe aucune notion de taille, et l'application seule ne suffit pas : ce sont les trois axiomes qui les rendent compatibles. Ces données permettent de comparer des ordres de grandeur, puis de définir une proximité adaptée, notamment dans le cadre p-adique. Une représentation graphique ou le choix d'une échelle n'appartiennent pas à la définition.
Un exemple, pas à pas
Dans le corps ℚ des nombres rationnels, prenons la valuation 3-adique v3 et les deux éléments x = 9 et y = 18. Les données sont 9 = 32 et 18 = 2 × 32.
1. On compte les facteurs 3 : v3(9) = 2 et v3(18) = 2.
2. Pour le produit, 9 × 18 = 162 = 2 × 34. Donc v3(162) = 4 = 2 + 2, conformément à la règle du produit.
3. Pour la somme, 9 + 18 = 27 = 33. On obtient v3(27) = 3, donc 3 ≥ min(2, 2).
4. L'inégalité est ici stricte : les deux termes ont la même valuation 2, mais leur somme atteint 3. Le schéma de calcul rend visible ce gain d'un facteur 3.
Le contrôle se refait avec les factorisations exactes : 9 = 32 et 18 = 2 × 32 ne sont pas divisibles par 33, tandis que 27 = 33 n'est pas divisible par 34. Les trois valuations annoncées sont donc exactes.
En pratique
Pour comparer la divisibilité de nombres rationnels par un nombre premier p, on factorise numérateur et dénominateur puis on soustrait leurs exposants de p. La valeur absolue usuelle convient mieux si le critère recherché est la grandeur ordinaire.
Pour juger si deux nombres sont proches dans un cadre p-adique, on examine leur différence. Plus cette différence est divisible par une puissance élevée de p, plus sa valuation p-adique est grande. La distance usuelle reste l'alternative lorsque la proximité doit suivre la droite réelle.
En théorie des nombres, on choisit donc une valuation p-adique quand le rôle d'un nombre premier précis est le signal pertinent. On change de premier, ou de mesure, si la question porte sur une autre divisibilité ou sur la taille réelle.
À ne pas confondre
Une valuation additive n'est pas une valeur absolue. La première transforme les produits en sommes ; la seconde transforme les produits en produits. Pour 9 × 18, v3 donne 2 + 2 = 4, tandis qu'une valeur absolue multiplicative vérifie une égalité de produits.
Une valuation p-adique n'est pas non plus l'ordre habituel des nombres réels. Avec p = 3, le nombre 27 a une valuation supérieure à 18 parce qu'il contient davantage de facteurs 3 ; ce test ne dit pas lequel vient en premier sur la droite réelle.
Enfin, un corps valué désigne le couple formé par le corps et la valuation choisie. Le même corps ℚ muni de la valuation 3-adique ou de la valuation 5-adique ne donne pas la même structure : la valeur de 9 les distingue immédiatement.
Limites et pièges
La valeur +∞ n'est pas un réel ordinaire : elle est réservée à zéro. Toute manipulation qui la traite comme une valuation finie masque le cas x = 0 ; il faut isoler ce cas avant un calcul avec un inverse.
L'inégalité ultramétrique n'est pas toujours une égalité. Dans l'exemple 3-adique, v3(9) = v3(18) = 2, mais v3(9 + 18) = 3. Lorsque les valuations des deux termes coïncident, il faut calculer la somme au lieu de conclure automatiquement.
Une valuation peut être triviale : elle vaut 0 sur chaque élément non nul et +∞ sur zéro. Elle satisfait les axiomes, mais ne distingue aucun ordre de grandeur entre éléments non nuls ; il faut vérifier que la valuation choisie apporte bien l'information recherchée.
Les ouvrages n'emploient pas tous la même convention de notation. Ici, la valuation est additive et une forte divisibilité donne une grande valeur. Avant de comparer deux formules, il faut vérifier si l'autre source utilise plutôt une valeur absolue multiplicative associée.
Pour aller plus loin
Le glossaire valuation approfondit l'application qui équipe le corps, ses axiomes et la manière dont elle encode un ordre de grandeur.
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