nombre p-adique

Écrire un entier en base 3 consiste à répartir sa valeur entre des unités, des paquets de 3 et des paquets de 9. Ainsi, 10 s'écrit 101₃ : un paquet de 9, aucun paquet de 3 et une unité.

Un nombre p-adique prolonge cette écriture vers la gauche sans imposer qu'elle s'arrête. La métrique p-adique juge deux nombres proches lorsqu'ils ont longtemps les mêmes chiffres en partant des unités, et non lorsqu'ils sont proches sur une droite graduée ordinaire.

Pour un nombre premier p, un entier p-adique est une écriture en base p dont les chiffres se prolongent éventuellement indéfiniment vers la gauche du signe des unités. L'ensemble de ces entiers est noté ℤ_p. Les nombres p-adiques à virgule forment l'ensemble noté ℚ_p ; ils peuvent avoir une infinité de chiffres à gauche de la virgule et seulement un nombre fini à droite.

La lettre p désigne donc la base choisie, et p doit être un nombre premier. La métrique p-adique associe la proximité à la divisibilité par des puissances de p : plus la différence de deux nombres est divisible par une grande puissance de p, plus ces nombres sont proches pour cette métrique. Cette notion de proximité n'est pas celle de la valeur absolue usuelle, et les propriétés obtenues dépendent du premier p.

Pour l'exemple en base 3, les chiffres 1, 0 et 1 occupent respectivement les positions de valeur 9, 3 et 1. La décomposition correspondante est :

On veut lire l'écriture 101₃ et vérifier la valeur de l'entier qu'elle représente. Les données sont la base p = 3 et les trois chiffres 1, 0 et 1, lus de gauche à droite.

Le chiffre des unités vaut 1 et contribue pour 1 × 3⁰ = 1.
Le chiffre suivant vaut 0 et contribue pour 0 × 3¹ = 0.
Le chiffre suivant vaut 1 et contribue pour 1 × 3² = 9.

En additionnant les contributions, on obtient 9 + 0 + 1 = 10. Le contrôle consiste à reconvertir 10 : 10 = 1 × 9 + 0 × 3 + 1, donc l'écriture 101₃ est vérifiée.

En arithmétique, on choisit un nombre premier p pour examiner les entiers selon leurs divisibilités successives par p. La métrique p-adique devient pertinente lorsque ces congruences comptent davantage que l'écart usuel entre les valeurs.

Pour voir le critère à l'œuvre, comparons 10 et 1 dans le point de vue 3-adique : leur différence vaut 9, qui est divisible par 3 puis par 3², mais pas par 3³. Ils sont donc proches pour la métrique 3-adique ; sur la droite réelle, leur distance vaut pourtant 9, tandis que 10 et 9 ne sont séparés que d'une unité.

Un nombre p-adique ne se confond pas avec un nombre écrit en base p au sens usuel. Une écriture finie comme 101₃ représente ici l'entier 10, tandis que la construction p-adique autorise des développements infinis vers la gauche et une métrique fondée sur la divisibilité. Le critère qui tranche est donc la structure et la notion de distance considérées, pas la seule présence de chiffres en base p.

Les entiers p-adiques ℤ_p ne sont pas non plus tout l'ensemble des nombres p-adiques ℚ_p. Le premier regroupe les écritures sans partie fractionnaire p-adique, alors que le second autorise une partie à droite de la virgule, en nombre fini selon la définition fournie.

Le symbole p n'est pas une base arbitraire : dans cette notion, p doit être premier. Employer directement une base composée change le cadre ; il faut alors préciser une autre théorie ou décomposer l'étude selon ses facteurs premiers.

Une écriture p-adique infinie vers la gauche ne doit pas être lue comme une décimale ordinaire prolongée sans fin. Le symptôme est l'emploi de la valeur absolue usuelle pour décider de la proximité. Il faut examiner la divisibilité de la différence par p, puis par p², p³, et ainsi de suite.

La partie à droite de la virgule obéit à une condition distincte de celle de la partie gauche : la définition donnée autorise une infinité de chiffres à gauche, mais seulement un nombre fini à droite. Une écriture qui inverse cette description ne représente pas le cas annoncé.

Le prolongement naturel consiste à étudier comment la métrique p-adique transforme la notion de convergence. Une suite peut devenir de plus en plus précise lorsqu'elle stabilise ses chiffres de faible rang, même si ses valeurs ne se rapprochent pas au sens usuel. Cette perspective ouvre vers l'étude des complétions et de l'arithmétique p-adique.