nombre palindrome

Écrivez 181 sur une feuille, puis lisez ses chiffres depuis la droite : vous obtenez encore 181. Cette symétrie fait de 181 un nombre palindrome. Tous les nombres à un chiffre le sont aussi, tout comme 11, 22, 111 ou 9009.

Le test porte sur l'écriture du nombre, pas seulement sur sa valeur. Il faut donc préciser la base de numération : un même nombre peut être palindrome dans une base et ne plus l'être dans une autre.

Dans une base de numération fixée, un nombre est palindrome lorsque la suite de ses chiffres reste identique après renversement. Si cette écriture comporte k chiffres, notés d₁, d₂, jusqu'à d_k, le critère est $d_i=d_{k+1-i}\text{pour tout }i\text{ de }1\grave{\text{a}}kd\_i=d\_\{k+1-i\}\backslash quad\backslash text\{pour\; tout\; \}i\backslash text\{\; de\; \}1\backslash text\{\; à\; \}k$. Autrement dit, le premier chiffre égale le dernier, le deuxième égale l'avant-dernier, et ainsi de suite.

En base 10, tous les nombres à un chiffre sont palindromes ; 11, 22, 111, 181 et 9009 en donnent d'autres exemples. Cette propriété dépend de la base choisie, alors que la primalité n'en dépend pas. Un nombre premier palindrome satisfait donc deux tests distincts : son écriture est symétrique dans la base annoncée et il est premier.

Tout palindrome décimal ayant un nombre pair de chiffres est divisible par 11. Par conséquent, le seul nombre premier palindrome décimal ayant un nombre pair de chiffres est 11. En base 2, les nombres premiers de Mersenne sont des rep-units, donc des suites de 1 palindromiques. Les quatre premiers nombres premiers palindromes binaires qui ne sont pas de Mersenne sont 5, 17, 73 et 107, écrits respectivement 101, 10001, 1001001 et 1101011.

On part de 57 et l'on applique le procédé « renverser puis additionner » jusqu'à obtenir une écriture palindromique. Données : le nombre initial est 57 ; son miroir s'obtient en inversant l'ordre des chiffres ; le calcul se fait en base 10.

1. Le miroir de 57 est 75.
2. On additionne : 57 + 75 = 132.
3. Comme 132 se lit 231 de droite à gauche, il n'est pas palindrome.
4. Le miroir de 132 est 231.
5. On additionne : 132 + 231 = 363.

Le résultat est 363 après deux additions. Le contrôle se refait chiffre par chiffre : le premier et le dernier chiffre valent 3, tandis que le chiffre central vaut 6 ; la lecture inversée redonne donc 363.

Une représentation en cases rend visibles les deux renversements et le moment où la suite des chiffres devient symétrique.

Pour reconnaître un palindrome, on compare les chiffres placés à égale distance des deux extrémités. Si toutes les paires coïncident, l'écriture est palindromique ; sinon, le premier désaccord suffit pour conclure.

Pour en construire un, on choisit une première moitié puis on la recopie en sens inverse. Avec 90, on obtient ainsi 9009. Pour une longueur impaire, le chiffre central n'est recopié qu'une fois.

Pour engendrer un palindrome à partir d'un entier, on peut additionner cet entier à son miroir, puis recommencer si nécessaire. Ce procédé convient à une exploration ; un test direct des chiffres reste préférable lorsqu'il faut seulement décider si un nombre donné est palindrome.

Palindrome et nombre premier. « Palindrome » décrit la symétrie d'une écriture ; « premier » décrit les diviseurs d'un entier. Ainsi, 181 possède les deux propriétés, tandis que 111 est palindrome mais vaut 3 × 37.

Palindrome et rep-unit. Un rep-unit n'emploie qu'une répétition du chiffre 1, ce qui le rend palindrome. La réciproque est fausse : 9009 est palindrome, mais ses chiffres ne sont pas tous égaux à 1.

La base doit être fixée. Le nombre onze s'écrit 11 en base 10, donc il y est palindrome, mais 1011 en base 2, qui ne l'est pas. Il faut toujours tester l'écriture dans la base annoncée.

Les zéros initiaux ne se rajoutent pas. L'écriture décimale usuelle de 10 est 10, et son renversement 01 ne constitue pas une écriture usuelle à deux chiffres de l'entier 1. On compare l'écriture canonique, sans zéros placés artificiellement devant.

Une longueur paire impose une divisibilité. Dès deux chiffres, tout palindrome décimal de longueur paire est divisible par 11. Un tel palindrome ne peut donc être premier que s'il vaut précisément 11 ; les palindromes premiers plus grands ont un nombre impair de chiffres.

Deux questions restent ouvertes. La fiche ne permet ni d'affirmer qu'il existe une infinité de nombres premiers palindromes, ni que le procédé d'addition avec le miroir aboutit pour tout entier.

La symétrie des chiffres rencontre deux notions qui éclairent ses conditions : la représentation choisie et la primalité de l'entier.

Base de numération. Cette fiche précise pourquoi une même valeur change d'écriture, et parfois de caractère palindrome, lorsque la base change.

Nombre premier. Elle donne le critère de primalité qui s'ajoute au test de symétrie pour reconnaître un nombre premier palindrome.