répunit

Écrivez six fois le chiffre 1 à la suite : vous obtenez 111111, le sixième répunit décimal, noté R₆. Chaque 1 occupe une position différente. Le nombre vaut donc 100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10 + 1. Ajouter un chiffre 1 à droite revient à multiplier le nombre précédent par 10, puis à ajouter 1. Cette construction explique pourquoi tous les répunits ont une écriture très régulière, sans dire pour autant qu’ils sont premiers.

En base 10, le répunit d’indice n est l’entier formé de n chiffres 1 consécutifs. L’indice n est un entier au moins égal à 1. On le note R_n et il vérifie $R_n=\frac{{10}^n-1}{9}R\_n=\backslash frac\{10^n-1\}\{9\}$. Cette égalité vient de la somme des n puissances de 10 correspondant aux positions des chiffres.

Dans une base b au moins égale à 2, le même principe donne un nombre composé de n chiffres 1 dans cette base. Si k désigne le rang d’une position, en partant de 0, la définition générale est : L’écriture « uniquement avec des 1 » dépend donc de la base choisie.

Le mot, contraction de l’anglais repeated unit, a été introduit en 1966 par Albert H. Beiler. Les appellations « nombre uniforme », « nombre polymonadique » et « multi-as » existent aussi, mais « répunit » ou « rep-unit » est la plus répandue. Certains auteurs réservent toutefois le nom aux répunits premiers. En base 2, ces nombres valent 2ⁿ − 1 et rejoignent les nombres de Mersenne lorsque n est premier. En base 9, les répunits sont des nombres triangulaires. Leur étude s’inscrit notamment dans les mathématiques récréatives et la recherche de factorisations.

Construisons R₆ en base 10. Les données sont la base 10, l’indice n = 6 et les six positions associées aux puissances de 10 allant de 0 à 5.

1. Écrivons un chiffre 1 dans chacune des six positions : R₆ = 111111.

2. Développons les valeurs de position : 100000 + 10000 + 1000 + 100 + 10 + 1 = 111111. La décomposition en six colonnes rend visible la contribution exacte de chaque chiffre.

3. Appliquons la formule : $R_6=\frac{{10}^6-1}{9}=\frac{999999}{9}=111111R\_6=\backslash frac\{10^6-1\}\{9\}=\backslash frac\{999999\}\{9\}=111111$. Les deux constructions donnent le même entier.

4. Vérifions si ce répunit est premier. La factorisation exacte est 111111 = 3 × 7 × 11 × 13 × 37 ; il est donc composé.

5. Un contrôle direct suffit déjà : la somme de ses chiffres vaut 6, donc 111111 est divisible par 3. Le quotient 37037, multiplié par 3, redonne bien 111111.

Pour reconnaître un répunit décimal, on regarde son écriture : tous les chiffres doivent être des 1. Ainsi, 111111 convient, tandis que 111011 ne convient pas. Si les chiffres sont tous identiques mais différents de 1, il faut employer une autre désignation.

Pour calculer un grand terme sans recopier une longue chaîne de chiffres, on utilise la formule avec la base et l’indice voulus. Pour un petit indice, la somme des valeurs de position offre un contrôle plus lisible.

Dans un problème de divisibilité, la régularité des chiffres fournit souvent un premier test. Pour R₆, la somme des chiffres révèle immédiatement le facteur 3. Une factorisation complète est nécessaire si l’on veut connaître tous les facteurs plutôt que seulement établir que le nombre est composé.

Répunit décimal et nombre de Mersenne. Un répunit décimal d’indice n vaut (10ⁿ − 1) / 9. Le répunit de même indice en base 2 vaut 2ⁿ − 1 ; lorsque n est premier, il appartient à la famille des nombres de Mersenne. Par exemple, l’écriture binaire 11111 vaut 31 en base 10 : 31 est un nombre de Mersenne, mais son écriture décimale n’est pas un répunit.

Le critère qui tranche est donc la base de numération. Avant de conclure qu’un entier est un répunit parce que son écriture ne montre que des 1, il faut toujours préciser dans quelle base cette écriture est lue.

Le premier terme n’est pas premier. R₁ = 1 est bien un répunit selon la définition par l’écriture, mais 1 n’est pas un nombre premier. La convention qui réserve « répunit » aux nombres premiers exclut donc ce cas.

Un indice composé force une factorisation. Si n s’écrit comme un produit a × b avec a et b supérieurs à 1, alors R_a divise R_n. Par exemple, R₂ = 11 divise R₆ = 111111. Pour chercher un répunit premier, un indice premier est donc nécessaire, mais cette condition ne suffit pas.

La base fait partie de l’objet. Une même suite de chiffres ne représente pas la même valeur selon la base. Le symbole R_n sans indication désigne habituellement le cas décimal dans cette fiche ; pour une autre base, la notation R_n(b) évite l’ambiguïté.

La rareté observée n’est pas une preuve de finitude. Les listes de répunits premiers connus dépendent de la date et des calculs disponibles : un relevé historique ne doit donc jamais être lu comme exhaustif. La question de savoir s’il existe une infinité de répunits premiers reste ouverte.

Le glossaire nombre de Mersenne prolonge le cas des répunits en base 2 et précise le rôle d’un exposant premier.

L’article La factorisation des grands entiers : replace la recherche de facteurs dans le problème plus large du traitement des grands nombres.