ArithmétiqueNotion · Glossaire
Rep-unit
Un rep-unit (de l'anglais repunit, contraction de repeated unit) est un entier naturel dont l'écriture en base 10 ne contient que des chiffres 1. Les premiers rep-units sont 1, 11, 111, 1111, etc. En base b quelconque, un rep-unit de longueur n est égal à (b^n - 1)/(b - 1). La question de la primalité des rep-units est un problème ouvert en théorie des nombres : certains rep-units sont premiers, comme 11 ou R19, mais la liste des rep-units premiers est encore incomplète.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un rep-unit à son écriture dans une base donnée.
- Calculer R₆ par écriture directe et par la formule géométrique.
- Distinguer la forme rep-unit de la propriété d'être premier.
- Repérer pourquoi un indice composé exclut la primalité.
En clair
Écrivez 1, puis ajoutez encore un chiffre 1 à droite : vous obtenez 11, puis 111, puis 1111. Chacun de ces entiers est un rep-unit décimal. Sa longueur est simplement le nombre de chiffres 1 alignés.
Cette apparence très régulière ne prédit pas sa primalité. Ainsi, 11 est premier, tandis que 111 se décompose en 3 × 37.
Définition
Un rep-unit décimal est un entier naturel dont tous les chiffres sont égaux à 1. On note Rn celui qui comporte n chiffres, où n est un entier au moins égal à 1 : R1 = 1, R2 = 11 et R3 = 111.
Plus généralement, fixons une base entière b supérieure à 1. Le rep-unit de longueur n s'écrit comme une somme des puissances de b, depuis l'exposant 0 jusqu'à l'exposant n − 1. Cette somme géométrique donne :
La base fait partie de la définition : une même valeur entière peut avoir des écritures différentes selon la base choisie. La primalité est une question supplémentaire. Certains rep-units sont premiers, notamment 11 et R19, mais déterminer tous les indices qui produisent un nombre premier reste un problème ouvert.
Un exemple, pas à pas
Construisons le rep-unit décimal de longueur 6 et examinons sa divisibilité. Les données sont la base b = 10, la longueur n = 6 et le chiffre répété 1.
1. Six positions remplies par le chiffre 1 donnent R6 = 111111.
2. La formule fournit le même entier : .
3. La division par 7 donne exactement 15 873. Le rep-unit R6 est donc composé. Sa décomposition complète est 111111 = 3 × 7 × 11 × 13 × 37. L'écriture en six cases et cette factorisation rendent visibles les deux lectures du même nombre.
4. Pour contrôler le résultat, on multiplie successivement les cinq facteurs : 3 × 7 × 11 × 13 × 37 = 111111. On retrouve bien l'entier de départ, sans arrondi.
En pratique
Pour construire un rep-unit court, on peut écrire directement autant de chiffres 1 que l'indique sa longueur. Dès que la longueur augmente, la formule géométrique évite une saisie longue et donne une expression calculable.
Pour tester une divisibilité, on traite le rep-unit comme tout autre entier. Une division exacte suffit à prouver qu'il est composé : pour R6, le quotient 15 873 obtenu par division par 7 fournit immédiatement un facteur.
Pour étudier la primalité d'un grand rep-unit, sa forme régulière sert d'abord à écarter certains indices. Un test de primalité reste nécessaire lorsque ces filtres ne donnent aucun diviseur.
À ne pas confondre
Rep-unit et nombre premier. « Rep-unit » décrit une écriture formée uniquement de chiffres 1 ; « premier » décrit un entier qui possède exactement deux diviseurs positifs. Le cas R3 = 111 tranche : c'est un rep-unit, mais 111 = 3 × 37, donc ce n'est pas un nombre premier.
Limites et pièges
Le premier terme n'est pas premier. R1 = 1 est bien un rep-unit, mais 1 n'est pas un nombre premier. Il faut séparer l'appartenance à la famille et la propriété de primalité.
Un indice composé produit un rep-unit composé. Dans une base b supérieure à 1, si la longueur n s'écrit n = a × c avec a et c supérieurs à 1, alors :
Ainsi, Ra divise Rn. Une longueur première est donc nécessaire pour que Rn soit premier.
La réciproque est fausse. Un indice premier ne garantit pas un rep-unit premier : l'indice 3 est premier, alors que R3 = 111 = 3 × 37. Après le filtre sur l'indice, un véritable test de primalité reste indispensable.
La base ne doit pas être implicite. La suite 1, 11, 111 décrit des écritures, pas des valeurs indépendantes du système de numération. Pour éviter une ambiguïté, il faut préciser la base b ; la formule suppose toujours b > 1.
Pour aller plus loin
nombre premier — Pour replacer les tests de primalité et la notion de diviseur dans leur cadre précis.
arithmétique modulaire — Pour étudier les restes et rechercher des diviseurs sans développer entièrement de très grands rep-units.
Critères de divisibilité — Pour relier les facteurs d'un rep-unit aux tests élémentaires appliqués à son écriture décimale.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres