ArithmétiqueNotion · Glossaire
nombre brésilien
Un entier n est dit brésilien s'il admet une représentation dans une base b, avec 1 < b < n − 1, dont tous les chiffres sont identiques. Cette définition exige que la base soit strictement comprise entre 1 et n − 1, ce qui exclut les représentations triviales en base 1 ou dans une base trop proche de n. La terminologie est issue de l'Olympiade ibéroaméricaine de 1994, où l'un des problèmes demandait de montrer que 1994 est un nombre brésilien tandis que 1993 ne l'est pas. Le qualificatif brésilien est demeuré attaché à cette famille de nombres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les conditions imposées à la base et au chiffre répété.
- Vérifier pas à pas l'écriture 22 de 1994 en base 996.
- Distinguer le caractère brésilien de la primalité et d'une simple répétition décimale.
En clair
Écrivons 1994 dans une base inhabituelle, la base 996. Deux positions suffisent : le premier chiffre compte des paquets de 996 et le second des unités. En plaçant le chiffre 2 dans chacune, on obtient 2 × 996 + 2, soit 1994. L'écriture 22 en base 996 n'emploie donc qu'un seul chiffre répété : elle rend 1994 brésilien.
Définition
Un nombre brésilien est un entier qui possède, dans au moins une base de numération autorisée, une écriture formée d'un même chiffre répété. Notons n l'entier, b la base, d le chiffre répété et k le nombre de positions. La base et ces deux paramètres sont des entiers. Il faut avoir 1 < b < n − 1, au moins deux positions, et 1 ≤ d ≤ b − 1.
La valeur de cette écriture s'obtient en additionnant les valeurs de position multipliées par le chiffre commun :
Une seule représentation conforme suffit. La définition n'impose pas que la base soit unique. Les bornes sur b sont essentielles : elles retirent des écritures qui rendraient la propriété automatique, sans renseigner sur la structure de l'entier. Le nom vient d'un problème de l'Olympiade ibéroaméricaine de 1994 consacré aux entiers 1994 et 1993.
Un exemple, pas à pas
Vérifions directement que 1994 est brésilien. Données : l'entier étudié vaut 1994 ; la base choisie vaut 996 ; l'écriture candidate comporte deux chiffres, tous deux égaux à 2. Chaque nombre utilisé dans le calcul est ainsi fixé.
1. Décomposer l'entier donne 1994 = 2 × 997.
2. Dans la base 996, les deux positions ont pour valeurs 996 et 1.
3. L'écriture 22996 vaut donc 2 × 996 + 2 × 1 = 1994. La décomposition visuelle associe chaque chiffre à sa valeur de position.
4. La base respecte bien 1 < 996 < 1993, et le chiffre 2 est autorisé puisqu'il est compris entre 1 et 995.
Le résultat est exact : 1994 est un nombre brésilien. Pour refaire le contrôle, il suffit de développer 22996 et de vérifier séparément la valeur obtenue, la répétition des chiffres et les bornes de la base.
En pratique
Pour tester un entier, on choisit une base strictement comprise entre 1 et n − 1, puis on effectue les divisions successives propres à cette base. L'entier est brésilien dès qu'une écriture obtenue comporte au moins deux chiffres identiques et aucun autre chiffre.
Une factorisation peut éviter une recherche au hasard. Pour une écriture à deux chiffres identiques, la valeur prend la forme d × (b + 1). Dans le cas de 1994, le facteur 997 conduit immédiatement à la base 996 et au chiffre 2.
Si aucune écriture à deux positions ne convient, il faut examiner des répétitions plus longues plutôt que conclure trop tôt. Le critère reste toujours le même : une base admissible, un chiffre valide et une égalité exacte avec l'entier étudié.
À ne pas confondre
Nombre premier. La primalité concerne les diviseurs d'un entier ; le caractère brésilien concerne l'existence d'une écriture répétée dans une base admissible. Un nombre peut satisfaire les deux propriétés : 7 est premier et s'écrit 1112, donc il est aussi brésilien. La fiche nombre premier précise le premier critère.
Répétition en écriture décimale. Voir des chiffres répétés en base 10 ne suffit que si la base 10 respecte les bornes imposées. Inversement, 1994 ne répète aucun chiffre en écriture décimale, mais son écriture 22996 établit la propriété.
Limites et pièges
Base trop grande. Autoriser la base n − 1 donnerait toujours l'écriture 11n−1, car (n − 1) + 1 = n. Cette représentation automatique est précisément exclue par la condition b < n − 1.
Base 1. Une écriture unaire aligne des marques plutôt que des chiffres de position au sens retenu ici. La borne 1 < b écarte ce cas.
Chiffre invalide. Dans une base b, le chiffre répété doit être inférieur à b et non nul en première position. Une égalité numérique obtenue avec d ≥ b ne fournit donc pas une représentation valide.
Conclusion hâtive à partir de la primalité. Le fait que 1993 ne soit pas brésilien ne fournit pas une règle générale sur les nombres premiers. Le contre-cas 7 = 1112 oblige à tester les représentations autorisées.
Pour aller plus loin
La fiche base de numération détaille la valeur de position des chiffres et le passage d'une écriture à la valeur de l'entier.
La fiche nombre premier permet de distinguer une propriété de divisibilité d'une propriété liée à l'écriture dans une base.
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