nombre cyclique

Écrivons 142857 sur une bande dont les deux extrémités se rejoignent. Si l'on choisit un autre chiffre de départ et que l'on conserve le même ordre circulaire, on lit par exemple 285714 ou 428571.

La surprise est arithmétique : ces nouvelles lectures ne sont pas seulement des rotations. Elles sont exactement les produits de 142857 par 2, par 3, puis jusqu'à 6. C'est cette rencontre entre rotation des chiffres et multiplication qui rend le nombre cyclique.

Un nombre cyclique, aussi appelé nombre phénix, est un entier écrit avec un nombre fixé de chiffres dans une base donnée. Ses multiples successifs se lisent comme des rotations circulaires de cette même suite de chiffres : aucun chiffre n'est remplacé et seul le point de départ change. Pour 142857 en base 10, les multiplicateurs 1 à 6 produisent les six rotations possibles.

La largeur de l'écriture fait partie de la convention. Sans zéro initial, 142857 est l'unique exemple décimal indiqué par la source. Si une écriture de longueur fixe peut commencer par zéro, 0588235294117647 fournit l'exemple suivant, sur 16 chiffres.

La construction passe par une fraction unitaire. Si b désigne la base et p un nombre premier qui ne divise pas b, le candidat associé s'écrit : $\frac{b^{p-1}-1}{p}\backslash frac\{b^\{p-1\}-1\}\{p\}$. Pour que les rotations parcourent tous les multiples attendus, le développement de 1/p en base b doit avoir la longueur maximale p − 1. Un nombre premier qui satisfait cette condition est appelé nombre premier long. La question de savoir s'il existe une infinité de nombres cycliques demeure ouverte.

Vérifions le caractère cyclique de 142857. Les données sont le nombre 142857, ses six chiffres, les multiplicateurs entiers de 1 à 6 et la convention usuelle sans zéro initial.

1. Le premier produit conserve le nombre de départ : 1 × 142857 = 142857.

2. Les deux produits suivants donnent 2 × 142857 = 285714, puis 3 × 142857 = 428571.

3. Continuons : 4 × 142857 = 571428 et 5 × 142857 = 714285.

4. Le sixième produit est 6 × 142857 = 857142. La figure rassemble ces six égalités autour du même cycle de chiffres.

5. Contrôlons sans refaire les multiplications. Dans chaque résultat, lisons les chiffres en boucle : 1, 4, 2, 8, 5, 7, puis retour à 1. Chaque produit contient une fois chacun des six chiffres et respecte exactement cet ordre circulaire.

Le résultat est donc vérifié pour les six multiplicateurs : les produits sont les six rotations de 142857. Le produit suivant, 7 × 142857 = 999999, marque la fin de cette série de rotations.

Pour tester un candidat, on fixe d'abord la longueur de son écriture, puis on calcule ses multiples successifs. On compare ensuite chaque résultat aux rotations circulaires, et non à de simples réarrangements des chiffres.

Lorsqu'un résultat commence par zéro, il faut annoncer la convention avant de conclure. L'écriture 0588235294117647 se traite comme une suite de 16 positions ; sans cette position initiale, la comparaison ne porte plus sur le même objet.

Pour chercher des exemples à partir de fractions unitaires, on examine un nombre premier p qui ne divise pas la base. Le critère décisif est la longueur p − 1 du développement périodique de 1/p ; la seule primalité ne suffit pas.

Une permutation quelconque des chiffres autorise tous les changements d'ordre. Une rotation circulaire conserve au contraire le voisinage et le sens de lecture : 285714 est une rotation de 142857, tandis que 124857 ne l'est pas.

Un nombre dont un multiple reprend les mêmes chiffres n'est pas nécessairement cyclique. Le critère porte sur la suite complète des multiples attendus : pour 142857, chacun des produits de 1 à 6 doit correspondre à l'une des six rotations.

Un développement décimal périodique ne donne pas automatiquement un nombre cyclique. Il faut que sa période ait la longueur maximale p − 1 pour le dénominateur premier p ; c'est précisément le rôle du nombre premier long.

Le zéro initial change le classement. Avec la convention qui l'interdit, la source retient seulement 142857 en base 10. Avec une largeur fixe, 0588235294117647 devient le nombre cyclique suivant ; il faut donc toujours préciser la convention.

La formule $\frac{b^{p-1}-1}{p}\backslash frac\{b^\{p-1\}-1\}\{p\}$ fournit un candidat entier lorsque p est premier et ne divise pas la base b, mais ces conditions ne garantissent pas à elles seules le cycle complet. Il faut encore vérifier que p est un nombre premier long dans cette base.

La propriété porte sur une plage déterminée de multiplicateurs. Pour 142857, elle va de 1 à 6 ; à 7, le produit vaut 999999 et n'est plus une rotation. Prolonger mécaniquement la liste donnerait donc un faux test.

L'existence d'une infinité de nombres cycliques n'est pas établie. Une longue liste d'exemples ou de nombres premiers longs ne remplace pas une preuve ; cette question doit rester formulée comme ouverte.

Le glossaire nombre premier précise la propriété arithmétique exigée du dénominateur avant d'étudier la longueur de la période.

L'article À l’égyptienne prolonge le thème des fractions unitaires, autre porte d'entrée vers les écritures de nombres rationnels.