mathématiques égyptiennes

Imaginez un scribe qui doit multiplier 13 par 7. Au lieu de réciter une table, il double 13 : il obtient 26, puis 52. Comme 7 est la somme de 4, 2 et 1, il additionne 52, 26 et 13. Le résultat est 91.

Ce calcul par doublements appartient à un ensemble de pratiques attestées sur des papyrus et des ostraca. On y rencontre aussi une numération décimale non positionnelle, des fractions unitaires et des problèmes de surfaces, de volumes ou de mesures.

Les mathématiques égyptiennes regroupent les procédés de numération, de calcul et de mesure connus par les traces de l'Égypte ancienne. Le système hiéroglyphique, gravé notamment sur les monuments, est décimal, additif et non positionnel : la valeur écrite résulte de l'addition des signes, et non de leur place. Le système hiératique des papyrus est lui aussi décimal, mais ses signes simplifiés évitent certaines répétitions.

Les fractions employées sont principalement des fractions de l'unité, dont le numérateur vaut 1, appelées fractions unitaires. Une fraction égyptienne désigne une représentation comme somme de fractions unitaires, généralement distinctes. Dans les sources, la fraction 2/3 est signalée par un symbole particulier. Pour multiplier ou diviser, les scribes procédaient par doublements et additions répétés. Les problèmes conservés portent sur l'arithmétique ou l'algèbre linéaire, les suites numériques, les surfaces et les volumes. Ils comprennent une approximation de l'aire du cercle et un calcul du volume d'une pyramide tronquée. Des systèmes de mesure distincts servaient aux longueurs, superficies, volumes et poids.

Cette connaissance repose surtout sur le papyrus Rhind, daté vers 1650 avant J.-C., le papyrus de Moscou, le Rouleau de cuir et des ostraca. Ces témoignages, découverts principalement à la fin du XIXe siècle puis étudiés au XXe siècle, montrent des problèmes résolus plutôt qu'un exposé théorique complet. Les fractions égyptiennes ont ensuite été utilisées en Grèce et au Moyen Âge ; elles interviennent encore dans des problèmes de théorie des nombres.

Un scribe doit calculer 7 lots de 13 unités. Les données sont le nombre de lots, 7, et la quantité par lot, 13. Il cherche donc le produit 7 × 13 par doublements et additions.

1. À la ligne 1, il inscrit 13.

2. Il double la première ligne : 2 correspond à 26. Il double encore : 4 correspond à 52.

3. Il décompose le multiplicateur : 7 = 4 + 2 + 1. Il retient donc les trois lignes construites.

4. Il additionne les valeurs correspondantes : 52 + 26 + 13 = 91. Ainsi, 7 lots de 13 unités contiennent 91 unités.

Le contrôle refaisable consiste à répartir 91 en 7 parts égales : chaque part vaut 13. On peut aussi vérifier que l'addition répétée de sept fois 13 donne bien 91.

Pour lire une écriture hiéroglyphique d'un entier, on regroupe les signes par puissance de 10 puis on additionne leurs valeurs. Si le document est un papyrus en écriture hiératique, il faut reconnaître ses signes simplifiés au lieu d'appliquer directement la lecture des signes monumentaux.

Pour refaire une multiplication attestée par ce type de calcul, on construit une colonne de doublements, puis on sélectionne les lignes dont les facteurs s'additionnent au multiplicateur. Une multiplication posée moderne est plus directe pour calculer vite ; la table de doublements sert à comprendre le procédé historique.

Pour interpréter une fraction dans un problème, on vérifie d'abord si elle est unitaire, donc de numérateur 1. Si elle ne l'est pas, on cherche une décomposition en fractions unitaires, généralement distinctes. Dans les sources, 2/3 doit être reconnu comme une notation historique particulière.

Pour étudier une mesure, on identifie d'abord la grandeur concernée : longueur, superficie, volume ou poids. Il serait trompeur de transférer automatiquement une unité ou une règle d'un usage à l'autre, puisque plusieurs systèmes distincts coexistaient.

Une fraction unitaire a pour numérateur 1, tandis qu'une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, généralement distinctes. Ainsi, 1/5 est unitaire ; 3/5 ne l'est pas, mais admet par exemple la décomposition égyptienne 3/5 = 1/2 + 1/10. Dans les sources, 2/3 fait l'objet d'une notation particulière.

La numération hiéroglyphique et l'écriture hiératique sont deux systèmes complémentaires, pas deux bases différentes. Toutes deux reposent sur la base 10. Une inscription monumentale orientera vers les signes hiéroglyphiques ; un papyrus cursif, vers les signes hiératiques simplifiés.

Une numération décimale additive non positionnelle ne fonctionne pas comme notre écriture décimale positionnelle. Dans la première, on additionne les valeurs propres des signes ; dans la seconde, la position modifie la valeur d'un chiffre. Déplacer un signe ne suffit donc pas à le multiplier par 10 dans le système hiéroglyphique décrit.

Les documents conservés ne forment pas un traité exhaustif. Le symptôme d'une généralisation excessive serait de transformer chaque procédure rencontrée dans un problème résolu en règle universelle de toute l'Égypte ancienne. Il faut rattacher les conclusions au corpus disponible : papyrus Rhind, papyrus de Moscou, Rouleau de cuir et ostraca.

Dire que les calculs se faisaient sans tables de multiplication ne signifie pas qu'ils étaient dépourvus de méthode. Dans l'exemple, le seuil charnière est la décomposition exacte de 7 en 4 + 2 + 1. Si les facteurs choisis ne recomposent pas le multiplicateur, la somme obtenue ne représente pas le produit recherché.

Le recours principal aux fractions unitaires dans les sources ne doit pas effacer le cas de 2/3. Si un raisonnement affirme que toute fraction employée avait nécessairement un numérateur égal à 1, ce symbole particulier le contredit. Cette convention historique ne change pas le sens mathématique moderne d'une fraction égyptienne, qui est une somme de fractions unitaires.

La méthode donnée pour l'aire d'un cercle est annoncée comme une approximation. Un résultat proche ne doit donc pas être présenté avec une égalité exacte moderne. De même, une mesure doit être lue dans le système correspondant à la longueur, à la superficie, au volume ou au poids concerné.

La fraction égyptienne prolonge l'étude du rôle des fractions unitaires et de leur décomposition, jusqu'à leurs échos dans la théorie des nombres.

Un autre prolongement consiste à comparer les types de problèmes du corpus : calculs arithmétiques, suites, surfaces et volumes ne renseignent pas de la même façon sur les procédures. Cette lecture par familles aide à distinguer ce que les documents montrent directement de ce qu'une reconstruction historique propose.