ArithmétiqueNotion · Glossaire
fraction égyptienne
Dans l'Égypte ancienne, les scribes exprimaient les quantités avec des entiers, 2/3 et des inverses d'entiers naturels non nuls. Aujourd'hui, une fraction égyptienne est la somme d'un entier naturel, qui peut être nul, et d'inverses d'entiers naturels non nuls aux dénominateurs distincts. Elle décompose ainsi une quantité en parts unitaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer le sens historique de la convention arithmétique moderne.
- Reconnaître une somme d'un entier et d'inverses à dénominateurs distincts.
- Transformer 2/3 en 1/2 + 1/6.
- Calculer le salaire 1 + 2/3 + 1/45 et contrôler le résultat 76/45.
- Éviter le dénominateur nul, les parts répétées et la confusion entre inverse et opposé.
En clair
Imaginez un salaire composé d'une mesure entière, de deux tiers de mesure et d'un quarante-cinquième : 1 + 2/3 + 1/45. L'écriture égyptienne juxtapose ainsi des parts dont le numérateur vaut 1, avec une place particulière pour 2/3.
Dans l'usage arithmétique moderne, 2/3 se décompose à son tour en 1/2 + 1/6. Le salaire devient donc 1 + 1/2 + 1/6 + 1/45 : un entier suivi de parts unitaires de tailles différentes.
Définition
Un inverse d'entier naturel non nul, aussi nommé quantième par de nombreux auteurs, est une fraction 1/n dont le dénominateur n est un entier naturel au moins égal à 1. Dans une fraction égyptienne au sens moderne, un entier naturel m, éventuellement nul, est additionné à un nombre fini de ces inverses. Leurs dénominateurs sont distincts.
Si n1, n2, …, nr désignent ces dénominateurs deux à deux distincts, la forme générale est :
L'ordre des termes ne change pas la somme ; la condition décisive porte sur l'absence de dénominateur répété.
Le sens historique est légèrement différent : les scribes employaient les entiers, les inverses d'entiers non nuls et le terme particulier 2/3. L'exemple 1 + 2/3 + 1/45 respecte cette convention. Sa réécriture 1 + 1/2 + 1/6 + 1/45 respecte aussi la convention moderne, car 2/3 = 1/2 + 1/6 et les dénominateurs 2, 6 et 45 sont distincts.
Un exemple, pas à pas
Partons du salaire 1 + 2/3 + 1/45 d'une mesure. Les données sont une mesure entière, la part particulière 2/3 et la part unitaire 1/45. Nous voulons obtenir une écriture moderne à dénominateurs distincts, puis calculer la quantité totale.
1. Décomposons les deux tiers en deux parts unitaires : .
2. Remplaçons 2/3 dans le salaire : . Les dénominateurs 2, 6 et 45 sont bien différents. La figure compare ces quatre parts sur une même unité.
3. Prenons 90 comme dénominateur commun : . Le salaire vaut donc exactement 76/45 de mesure.
4. Contrôlons avec l'écriture historique : 1 + 2/3 + 1/45 = 45/45 + 30/45 + 1/45 = 76/45. Les deux calculs donnent la même quantité.
En pratique
Pour reconnaître une écriture égyptienne moderne, repérez d'abord l'éventuel entier, puis vérifiez que chaque autre terme a pour numérateur 1 et que les dénominateurs ne se répètent pas. Si un terme comme 2/3 apparaît, il faut le décomposer avant d'appliquer cette convention moderne.
Pour comparer l'écriture historique et l'écriture moderne d'une même quantité, remplacez seulement le terme particulier 2/3 par 1/2 + 1/6. Une mise au même dénominateur contrôle ensuite que la valeur n'a pas changé.
Pour additionner les parts, choisissez un dénominateur commun à tous les termes. Dans l'exemple du salaire, 90 rend visibles les contributions 90, 45, 15 et 2 ; leur somme 152/90 se simplifie en 76/45.
À ne pas confondre
Inverse et opposé. L'inverse d'un entier non nul n est 1/n, tandis que son opposé est −n. Pour n = 5, le quantième est 1/5 et non −5 ; seul 1/5 peut constituer une part unitaire d'une fraction égyptienne.
Fraction ordinaire et fraction égyptienne moderne. L'écriture 2/3 est une fraction ordinaire, mais elle n'est pas écrite directement comme une somme d'inverses distincts. L'égalité 2/3 = 1/2 + 1/6 fournit une écriture égyptienne moderne de la même valeur.
Limites et pièges
Dénominateur nul. Un terme 1/0 n'est jamais admis : la définition exige l'inverse d'un entier naturel non nul. Si un zéro apparaît au dénominateur, l'écriture n'est pas une fraction égyptienne valide.
Parts répétées. L'écriture moderne impose des dénominateurs distincts. Ainsi, 1/6 + 1/6 ne respecte pas directement la forme attendue, même si sa valeur est 1/3 ; il faut simplifier ou chercher une décomposition à parts distinctes.
Entier éventuellement nul. Une somme peut commencer directement par des inverses : 1/2 + 1/6 représente 2/3 avec une partie entière égale à 0. À l'inverse, l'entier 1 du salaire doit rester visible dans la valeur totale 76/45, supérieure à 1.
Convention historique. Le terme 2/3 possède une place particulière dans l'écriture des scribes, alors que la convention moderne demande ici 1/2 + 1/6. Avant de contrôler les dénominateurs, il faut donc identifier le sens historique ou moderne employé.
Pour aller plus loin
conjecture — Comprendre le statut d'un énoncé proposé comme vrai, comme la conjecture d'Erdős-Straus sur les décompositions en inverses.
arithmétique — Replacer les décompositions en inverses d'entiers dans l'étude plus large des nombres et de leurs opérations.
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