ArithmétiqueThéorème · Glossaire
conjecture de Sierpinski
Pour tout entier n supérieur à 1, il existe trois entiers strictement positifs a, b et c tels que 5/n = 1/a + 1/b + 1/c. Cette affirmation, formulée par le mathématicien polonais Wacław Sierpiński, constitue une conjecture ouverte : aucune démonstration générale n'a été établie à ce jour, bien que la propriété soit vérifiée pour de nombreuses valeurs particulières de n. Elle s'inscrit dans la théorie des fractions égyptiennes, qui étudie la décomposition des fractions rationnelles en sommes de fractions unitaires de la forme 1/k.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Lire l'énoncé complet avec son domaine n > 1 et ses trois dénominateurs positifs.
- Vérifier pas à pas la décomposition 5/7 = 1/2 + 1/5 + 1/70.
- Distinguer une vérification particulière d'une démonstration générale.
- Reconnaître le rôle des fractions unitaires et des fractions égyptiennes.
- Éviter les erreurs liées au cas n = 1, à une recherche bornée ou à l'unicité supposée.
En clair
Prenons 5/7. La conjecture affirme que cette fraction peut être reconstruite avec exactement trois parts ayant chacune 1 au numérateur. Un choix fonctionne : 1/2, 1/5 et 1/70. Sur le dénominateur commun 70, elles valent 35/70, 14/70 et 1/70 ; leur somme est bien 50/70, donc 5/7.
Le défi n'est pas de réussir pour 7, mais de garantir une telle décomposition pour chaque entier supérieur à 1. Beaucoup de cas ont été vérifiés, sans que cela constitue une preuve valable pour tous les entiers.
Définition
La conjecture de Sierpinski est un énoncé d'existence sur les fractions égyptiennes. Pour chaque entier n strictement supérieur à 1, elle prévoit l'existence de trois entiers positifs a, b et c pour lesquels : . Les nombres a, b et c sont les dénominateurs ; ils peuvent dépendre de n. Chaque terme 1/a, 1/b ou 1/c est une fraction unitaire, c'est-à-dire une fraction de numérateur 1 et de dénominateur positif.
L'énoncé demande une décomposition pour tout n du domaine, mais il ne prescrit ni formule unique pour trouver a, b et c, ni unicité de la décomposition. Vérifier une identité pour une valeur donnée de n établit seulement ce cas particulier. La conjecture resterait ouverte tant qu'une preuve ne couvrirait pas tous les entiers n > 1, ou qu'un entier sans aucune décomposition ne serait pas découvert.
Cette question appartient à l'étude des fractions égyptiennes : on cherche à écrire une fraction rationnelle comme somme de fractions unitaires. Ici, le numérateur 5, le nombre de trois termes et le domaine n > 1 font partie intégrante de l'affirmation.
Le principe
Soit n un entier strictement supérieur à 1. La conjecture affirme qu'il existe des entiers positifs a, b et c, choisis en fonction de n, qui vérifient l'égalité annoncée.
L'énoncé ne donne pas un triplet fixé valable pour tous les n : chaque valeur peut demander une décomposition différente.
Quand l'utiliser
Le nombre n doit être un entier et satisfaire n > 1. Les trois dénominateurs recherchés sont des entiers strictement positifs, afin que 1/a, 1/b et 1/c soient définies et positives. Le résultat attendu est une égalité exacte avec 5/n, pas une approximation décimale. Les dénominateurs n'ont pas à être égaux ni à être fournis par une règle unique.
Le cas n = 1 est hors du domaine et montre pourquoi la condition compte. La somme de trois fractions unitaires positives est au plus 1 + 1 + 1 = 3 ; elle ne peut donc pas valoir 5. Pour une valeur rationnelle non entière de n, l'énoncé ne s'applique pas : on revient au problème plus général de la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions égyptiennes.
Un exemple, pas à pas
Vérifions le cas n = 7 avec les dénominateurs proposés a = 2, b = 5 et c = 70. Les données sont donc la fraction 5/7 et les trois fractions unitaires 1/2, 1/5 et 1/70.
1. Un dénominateur commun aux quatre fractions est 70.
2. Réécrivons chaque fraction unitaire : 1/2 = 35/70, 1/5 = 14/70 et 1/70 reste inchangée. La figure rend visibles ces trois contributions exactes.
3. Additionnons les numérateurs : .
4. Simplifions 50/70 en divisant le numérateur et le dénominateur par 10 : 50/70 = 5/7. Le triplet (2, 5, 70) vérifie donc la conjecture pour n = 7. Ce contrôle prouve ce cas précis, pas l'affirmation pour tous les entiers supérieurs à 1.
En pratique
Pour contrôler un triplet proposé, mettez 1/a, 1/b et 1/c au même dénominateur, additionnez-les exactement, puis réduisez la fraction. Une comparaison décimale est moins sûre, car un arrondi peut masquer une différence.
Pour explorer une valeur particulière de n, on peut chercher des dénominateurs positifs puis tester chaque identité. Si un triplet convient, ce cas est résolu ; si une recherche limitée échoue, elle ne prouve pas qu'aucun triplet n'existe au-delà de la limite examinée.
Pour traiter la conjecture elle-même, une liste de cas vérifiés ne remplace pas un argument général. Il faut soit une construction couvrant chaque entier n > 1, soit un raisonnement qui ramène tous les entiers à des familles déjà établies.
À ne pas confondre
Une fraction unitaire et une fraction égyptienne. Une fraction unitaire est un seul terme de la forme 1/k, avec k positif. Une décomposition en fractions égyptiennes est une somme de tels termes. Ainsi, 1/5 est un terme unitaire, tandis que 1/2 + 1/5 + 1/70 est une décomposition de 5/7.
Une conjecture et un théorème. Des vérifications nombreuses soutiennent une conjecture sans la démontrer pour tous les cas. La décomposition obtenue pour n = 7 confirme seulement une instance ; l'énoncé général ne deviendrait un théorème qu'après une démonstration couvrant tout entier n > 1.
La conjecture et les objets fractals de Sierpinski. Le nom propre ne suffit pas à identifier la notion. Ici, le critère testable est l'égalité 5/n = 1/a + 1/b + 1/c ; une question portant sur un triangle ou un tapis construit par répétition concerne un autre objet mathématique.
Limites et pièges
Un cas vérifié n'est pas une preuve générale. Trouver a, b et c pour n = 7 établit une identité exacte, mais ne dit rien à lui seul sur un entier quelconque. Il faut conserver explicitement le quantificateur « pour tout n > 1 ».
Une recherche bornée ne prouve pas l'impossibilité. Ne trouver aucun triplet sous une certaine borne signifie seulement que cette zone de recherche est vide. Pour réfuter la conjecture, il faudrait démontrer qu'un entier n > 1 n'admet aucun triplet positif, quelles que soient les tailles de a, b et c.
Le seuil n = 1 est exclu. Avec des dénominateurs positifs, chaque fraction unitaire vaut au plus 1 ; trois termes totalisent donc au plus 3, contre 5/1 = 5. Ce contre-cas hors domaine ne réfute pas la conjecture : il justifie sa condition n > 1.
Les dénominateurs ne sont ni fixes ni annoncés uniques. Le triplet (2, 5, 70) convient à n = 7, mais l'énoncé demande seulement l'existence d'au moins un triplet pour chaque n. Chercher une même valeur de a, b et c pour tous les n impose une contrainte absente de la conjecture.
Pour aller plus loin
fraction égyptienne — Situer la décomposition de 5/n dans le cadre général des sommes de fractions unitaires.
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