conjecture de Goldbach

Prenez un nombre pair, par exemple 28, puis cherchez deux nombres premiers dont la somme vaut 28. Le couple 5 et 23 convient, tout comme 11 et 17. La conjecture de Goldbach affirme qu'une telle décomposition existe pour chaque nombre pair à partir de 4. On peut multiplier les essais et les vérifications, mais cela ne suffit pas à prouver que la règle vaut pour une infinité de nombres pairs.

La conjecture de Goldbach est un énoncé ouvert de théorie des nombres. Dans sa formulation moderne, elle porte sur les entiers pairs supérieurs ou égaux à 4 : chacun serait la somme de deux nombres premiers. Le nombre 28 en donne un exemple, puisque 28 = 5 + 23. Une seule décomposition suffit pour vérifier un entier donné, sans qu'elle soit nécessairement unique.

Goldbach avait formulé en 1742 un énoncé en trois nombres premiers pour les entiers strictement supérieurs à 5. Cette formulation est équivalente à la version moderne. Il faut aussi distinguer la version faible : tout entier impair supérieur à 5 est somme de trois nombres premiers. Harald Helfgott a démontré cette version faible en 2013.

La conjecture moderne à deux nombres premiers reste non démontrée. Les vérifications informatiques atteignent des valeurs très élevées, mais elles ne couvrent qu'un ensemble fini d'entiers.

Si un entier est pair et supérieur ou égal à 4, alors la conjecture affirme qu'il existe deux nombres premiers dont la somme est égale à cet entier. Pour un entier pair donné, trouver un seul couple convenable confirme donc l'énoncé dans ce cas particulier. Cette vérification locale n'est pas une démonstration de l'énoncé pour tous les entiers pairs.

La formulation moderne demande deux conditions vérifiables : le nombre étudié est un entier pair et il vaut au moins 4. Le résultat recherché est un couple de nombres premiers dont la somme redonne exactement cet entier. Pour 28, le couple 5 et 23 répond à ces conditions.

Un entier impair comme 9 n'entre pas dans ce domaine : aucune recherche de deux termes n'y vérifie la conjecture moderne. Pour les entiers impairs supérieurs à 5, l'énoncé approprié est la version faible à trois nombres premiers, qui est démontrée.

On veut vérifier la conjecture pour l'entier 28. Les données sont le nombre pair 28 et les nombres premiers candidats 5, 11, 17 et 23.

1. On choisit le premier candidat 5.

2. On cherche le complément nécessaire : 28 − 5 = 23.

3. Les deux termes 5 et 23 sont premiers, donc la décomposition convient.

Le contrôle consiste à refaire l'addition : 5 + 23 redonne bien 28. La conjecture est ainsi vérifiée pour 28, mais pas démontrée en général. Une seconde vérification, 11 + 17 = 28, montre aussi que la décomposition n'est pas forcément unique. La figure rassemble ces deux couples sans leur donner valeur de preuve générale.

Pour tester un entier pair précis, on choisit un nombre premier inférieur à cet entier, puis on regarde si son complément est premier. Avec 28, essayer 5 conduit immédiatement à 23.

Pour examiner beaucoup d'entiers pairs, une vérification informatique répète cette recherche. Elle est préférable au calcul manuel quand le nombre de cas devient élevé, mais elle ne remplace pas une démonstration valable pour tous les cas.

Si le nombre étudié est impair et supérieur à 5, la formulation moderne à deux termes n'est pas celle à employer. La version faible, à trois nombres premiers, correspond alors au bon énoncé.

Conjecture moderne et version faible. La première vise les entiers pairs à partir de 4 et demande deux nombres premiers. La seconde vise les entiers impairs supérieurs à 5 et en demande trois. Pour 28, on applique la première ; pour 9, la seconde.

Vérification et démonstration. L'égalité 28 = 5 + 23 vérifie un cas, et un programme peut en vérifier un très grand nombre. Une démonstration doit établir l'énoncé pour tous les entiers pairs concernés, sans s'arrêter à une borne finie.

Le seuil 4 est inclus. Le premier cas est 4 = 2 + 2. Employer deux fois le même nombre premier est permis ; exiger deux nombres premiers distincts modifierait l'énoncé.

Les entiers impairs sont hors du domaine moderne. Si le nombre testé est impair, il faut cesser la recherche au titre de cette conjecture et se tourner, au-delà de 5, vers la version faible à trois termes.

Une borne informatique reste finie. Même confirmée pour des valeurs très élevées, la conjecture moderne demeure ouverte. Le symptôme du piège est la formule « vraie jusqu'ici, donc toujours vraie » : seule une démonstration générale lèverait cette limite.

nombre premier — Pour revoir la propriété exigée des termes dans chaque décomposition de Goldbach.

Une passion pour la conjecture de Goldbach — Pour prolonger la découverte par un article entièrement consacré à cette conjecture.

L'inépuisable théorème des nombres premiers — Pour situer les nombres premiers dans un autre grand résultat de l'arithmétique.