théorème des deux carrés

Prenez 45 jetons. Il est possible de les partager en deux carrés : un carré de 3 sur 3 et un carré de 6 sur 6, car 45 = 3² + 6². En revanche, aucun assemblage de deux carrés entiers ne donne 15.

Le théorème des deux carrés décide lequel de ces deux comportements possède un entier positif. Il suffit de regarder sa décomposition en nombres premiers et de surveiller les facteurs qui laissent un reste de 3 dans une division par 4.

Le théorème des deux carrés caractérise les entiers positifs qui peuvent s'écrire sous la forme x² + y², où x et y sont des entiers. Dans le cas général, on commence par décomposer l'entier n en facteurs premiers. La condition nécessaire et suffisante est la suivante : chaque facteur premier congru à 3 modulo 4 doit avoir un exposant pair dans cette décomposition.

Si les nombres premiers q_j désignent précisément les facteurs congrus à 3 modulo 4, le critère s'écrit : $n=x^2+y^2⟺\text{pour tout facteur premier }{q}_j\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4),v_{q_j}(n)\text{ est pair}n=x^2+y^2\backslash iff\; \backslash text\{pour\; tout\; facteur\; premier\; \}q\_j\backslash equiv3\backslash pmod4,\backslash \; v\_\{q\_j\}(n)\backslash text\{\; est\; pair\}$. Les facteurs 2 et les facteurs premiers congrus à 1 modulo 4 peuvent avoir n'importe quel exposant. Ainsi, 45 = 3² × 5 convient, puisque l'exposant du seul facteur de la forme 4k + 3, le nombre 3, vaut 2.

Pour un nombre premier impair p, le critère se réduit à p ≡ 1 modulo 4. La représentation est alors unique si l'on identifie l'échange des deux carrés ; par exemple, 13 = 2² + 3². Certains entiers composés peuvent avoir plusieurs représentations distinctes, même si l'on identifie l'échange et les changements de signe, tandis que d'autres n'en ont qu'une. Le nombre r₂(n) de couples d'entiers relatifs ordonnés est donné par $r_2(n)=4(d_1(n)-d_3(n))r\_2(n)=4\backslash bigl(d\_1(n)-d\_3(n)\backslash bigr)$, où d₁(n) et d₃(n) comptent les diviseurs respectivement congrus à 1 et à 3 modulo 4.

Soit p un nombre premier impair. Il existe des entiers naturels x et y tels que p = x² + y² si et seulement si p ≡ 1 modulo 4. Lorsque cette condition est satisfaite, les deux carrés sont uniques à leur échange près.

Pour tout entier positif n, la règle complète est : $n=x^2+y^2⟺\mathrm{\forall }q\text{ premier},q\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)\Rightarrow v_q(n)\text{ est pair}n=x^2+y^2\backslash iff\; \backslash forall\; q\backslash text\{\; premier\},\backslash \; q\backslash equiv3\backslash pmod4\backslash Rightarrow\; v\_q(n)\backslash text\{\; est\; pair\}$. Ici, v_q(n) désigne l'exposant du facteur premier q dans n.

Le critère général s'applique à un entier positif dont on connaît la décomposition en facteurs premiers. Il faut examiner tous les facteurs premiers congrus à 3 modulo 4, et non seulement le plus grand. Chacun doit apparaître avec un exposant pair. Cette vérification décide l'existence d'une représentation par deux carrés d'entiers, mais elle ne fournit pas automatiquement le couple.

Par exemple, 15 = 3 × 5 échoue : le facteur 3 est congru à 3 modulo 4 et son exposant vaut 1. Il est donc inutile de chercher des entiers x et y tels que 15 = x² + y². Pour décider ce cas composé, il faut employer le critère général plutôt que l'énoncé réservé aux nombres premiers.

Décidons si 45 est une somme de deux carrés, trouvons une représentation et contrôlons son nombre de représentations. Les données sont l'entier n = 45 et sa factorisation 45 = 3² × 5.

1. Le facteur premier 3 est congru à 3 modulo 4. Son exposant vaut 2, donc il est pair. Le facteur 5 est congru à 1 modulo 4 et ne crée aucune obstruction. Le théorème garantit ainsi une représentation.

2. Cherchons les carrés inférieurs ou égaux à 45. On trouve 45 − 6² = 9 = 3², donc 45 = 3² + 6². La figure place les huit couples signés et ordonnés correspondants sur le cercle d'équation x² + y² = 45.

3. Les diviseurs positifs de 45 sont 1, 3, 5, 9, 15 et 45. Quatre sont congrus à 1 modulo 4 : 1, 5, 9 et 45. Deux sont congrus à 3 modulo 4 : 3 et 15. Ainsi, r₂(45) = 4 × (4 − 2) = 8.

4. Contrôlons ce total : les couples sont (±3, ±6) et (±6, ±3), avec quatre choix de signes pour chacun des deux ordres. Ils donnent exactement huit couples et tous vérifient x² + y² = 9 + 36 = 45.

Pour décider rapidement si un entier positif est une somme de deux carrés, factorisez-le puis relevez les facteurs premiers congrus à 3 modulo 4. Si l'un d'eux possède un exposant impair, le verdict est négatif ; sinon, l'existence est assurée.

Pour trouver effectivement les deux carrés lorsque l'entier est modeste, testez les carrés x² jusqu'à n et vérifiez si n − x² est un carré parfait. Pour de grands entiers, le théorème seul ne remplace pas un algorithme de construction.

Pour compter les représentations, classez les diviseurs positifs selon leur reste 1 ou 3 modulo 4, puis calculez quatre fois la différence des deux effectifs. Cette formule compte les signes et l'ordre ; si vous voulez seulement des paires de carrés non ordonnées, il faut regrouper ces symétries.

Théorème des deux carrés et théorème de Pythagore. Le premier demande si un entier n vaut x² + y² ; le second relie les côtés d'un triangle rectangle par a² + b² = c². Ainsi, 45 = 3² + 6² relève du théorème des deux carrés, sans faire de 3, 6 et 45 les longueurs d'un triangle rectangle.

Somme de deux carrés et carré parfait. Une somme de deux carrés n'est pas nécessairement elle-même un carré. Le nombre 45 = 3² + 6² est compris entre 6² et 7² ; il n'est donc pas un carré parfait.

Le cas zéro. L'égalité 0 = 0² + 0² est vraie, mais zéro n'a pas de décomposition en facteurs premiers. Le critère de factorisation et la formule r₂(n) s'énoncent donc ici pour n ≥ 1 ; zéro se traite séparément.

Un raccourci réservé aux nombres premiers. La condition n ≡ 1 modulo 4 n'est pas le critère général. Le nombre 21 est congru à 1 modulo 4, mais ses facteurs 3 et 7, tous deux congrus à 3 modulo 4, ont un exposant impair : 21 n'est donc pas une somme de deux carrés. Inversement, 2 = 1² + 1². Pour un entier composé ou pour 2, examinez le critère approprié.

L'unicité ne s'étend pas aux entiers composés. L'unicité à l'échange près concerne les nombres premiers impairs congrus à 1 modulo 4. Par exemple, 65 possède deux décompositions distinctes : 65 = 1² + 8² = 4² + 7². Il faut donc compter ou rechercher toutes les solutions quand n est composé.

La convention de comptage change le résultat. Pour 45, la formule donne huit couples parce que (3, 6), (6, 3) et tous les choix de signes sont distingués. Si l'ordre ou les signes sont ignorés, le nombre annoncé diminue ; précisez toujours la convention avant de comparer deux comptes.

décomposition en facteurs premiers — Apprendre à obtenir les exposants dont la parité décide si un entier est une somme de deux carrés.

congruence modulo n — Approfondir le classement des facteurs et des diviseurs selon leur reste modulo 4.

nombre premier — Revoir la notion qui rend l'énoncé de Fermat particulièrement simple et sa représentation unique à l'échange près.