Lemoine Emile

En 1872, Émile Lemoine participe à la fondation de la Société mathématique de France. Cet ingénieur parisien, aussi trompettiste, fait alors de la géométrie du triangle son principal terrain de recherche.

Son nom reste attaché au point où se rencontrent les trois symédianes d'un triangle. Il cherche aussi à comparer la complexité des tracés à la règle et au compas. Cette manière d'étudier les relations entre droites et cercles a contribué à renouveler la géométrie du triangle.

Émile Michel Hyacinthe Lemoine (1840–1912) est un ingénieur et mathématicien français. Formé au prytanée militaire puis à l'École polytechnique, il fréquente aussi les Mines, l'Architecture et les Beaux-Arts, et suit des cours de médecine et de droit. Il participe en 1872 à la fondation de la Société mathématique de France. Jusqu'en 1876, il supervise comme ingénieur civil l'installation du réseau de gaz à Paris.

Ses recherches concernent surtout les relations entre droites et cercles dans le triangle : alignements, concours et cocyclicité. Le point de Lemoine, aussi nommé point de symédiane, est l'intersection des trois symédianes d'un triangle. Le cercle de Lemoine est un autre objet de cette géométrie, construit à partir du point de Lemoine et des côtés du triangle. Lemoine développe en outre la géométrographie, qui évalue et cherche à réduire la complexité des constructions à la règle et au compas.

Cette approche relationnelle de la géométrie, moins centrée sur les longueurs que sur la colinéarité, le concours et la cocyclicité, a marqué l'enseignement jusqu'aux réformes des années 1970. En théorie des nombres, Lemoine formule en 1895 une conjecture : tout entier impair strictement supérieur à 5 serait la somme d'un nombre premier et du double d'un nombre premier. Cette assertion, distincte de la conjecture de Goldbach, demeure une conjecture et a été redécouverte indépendamment au XXe siècle.

Considérons un triangle rectangle ABC dont les côtés AC, AB et BC mesurent respectivement 3, 4 et 5 unités. La figure associe à ce triangle les trois symédianes et leur point de concours K.

1. On place A et B sur une même horizontale, puis C à la verticale de A, de sorte que l'angle en A soit droit.
2. Pour chaque sommet, on marque le milieu du côté opposé et on trace la médiane qui les relie ; on trace aussi la bissectrice de l'angle, puis on construit le reflet de la médiane par rapport à cette bissectrice : c'est la symédiane.
3. On prolonge les trois symédianes à l'intérieur du triangle.
4. On constate qu'elles passent toutes par le même point K.

Le contrôle est visuel et refaisable : suivre successivement chaque droite rouge depuis A, B puis C conduit au même disque jaune. Ce point commun est le point de Lemoine du triangle ABC, ou point de symédiane. Les longueurs 3, 4 et 5 fixent un triangle précis ; elles ne constituent pas une définition particulière du point.

Dans un problème de géométrie du triangle, le nom de Lemoine invite à chercher des symédianes, un concours de droites ou une cocyclicité. Si la question porte seulement sur des longueurs, une approche métrique directe peut être plus adaptée.

Pour comparer deux constructions à la règle et au compas, la géométrographie déplace l'attention du seul résultat vers la complexité du tracé. Lorsque l'objectif est uniquement d'obtenir une figure, il n'est pas nécessaire de minimiser les opérations.

En théorie des nombres, la conjecture de 1895 fournit un test pour les entiers impairs supérieurs à 5 : on cherche un nombre premier et le double d'un autre nombre premier dont la somme donne l'entier choisi. Une vérification sur quelques valeurs ne remplace toutefois pas une preuve générale.

Point de Lemoine et cercle de Lemoine. Le premier est un point défini par le concours des symédianes ; le second est un cercle. Dans une figure, trois droites qui se rencontrent désignent donc le point, et non le cercle.

Conjecture de Lemoine et conjecture de Goldbach. L'assertion de Lemoine porte sur les entiers impairs strictement supérieurs à 5 et impose une somme formée d'un nombre premier et du double d'un nombre premier. Les deux conjectures sont distinctes et leurs noms ne sont pas interchangeables.

Un dessin n'est pas une preuve. Dans l'exemple, les trois traits rouges semblent passer par K. Ce constat illustre le concours des symédianes, mais ne démontre pas à lui seul l'existence du point pour tout triangle.

Une conjecture n'est pas un théorème. L'énoncé de 1895 commence au premier entier impair strictement supérieur à 5. Trouver des décompositions pour 7, 9 ou 11 ne suffit pas à traiter tous les entiers visés.

La complexité dépend du cadre annoncé. La géométrographie de Lemoine concerne les constructions à la règle et au compas. Une construction réalisée avec d'autres instruments ne doit pas être comparée comme si les opérations autorisées étaient identiques.

La symédiane précise la droite remarquable dont le concours définit le point de Lemoine.

Le point de Lemoine approfondit l'objet géométrique directement attaché aux recherches du mathématicien.

Le cercle de Lemoine présente l'autre objet de géométrie du triangle qui porte son nom.

La conjecture de Goldbach fournit le repère nécessaire pour situer la force de la conjecture arithmétique de Lemoine.