GéométrieObjet géométrique · Glossaire
cercle de Brocard
Pour un triangle non dégénéré, le cercle de Brocard est le cercle ayant pour diamètre le segment qui joint le centre du cercle circonscrit au point de Lemoine, intersection des symédianes ; dans le cas équilatéral, il se réduit à un point. Il contient les deux points de Brocard et fournit ainsi une construction directe à partir de deux centres remarquables du triangle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire le cercle de Brocard comme cercle de diamètre OK.
- Relier le centre du cercle circonscrit, le point de Lemoine et les deux points de Brocard.
- Refaire le calcul complet dans un triangle rectangle 3–4–5.
- Reconnaître les cas dégénérés et distinguer le cercle de Brocard du cercle circonscrit.
En clair
Dans un triangle, plusieurs points remarquables jouent des rôles différents. Le centre du cercle passant par les trois sommets en est un ; le point où se rencontrent les symédianes en est un autre. Le cercle de Brocard relie ces deux points et deux points d'égalité angulaire, appelés points de Brocard.
Une manière concrète de le reconnaître consiste à tracer le cercle dont le diamètre joint le centre du cercle circonscrit au point de Lemoine. Les deux points de Brocard se trouvent alors eux aussi sur ce cercle.
Définition
Soit un triangle non dégénéré. Le centre de son cercle circonscrit est noté O. Le point de Lemoine, intersection de ses trois symédianes, est noté K. Le cercle de Brocard est le cercle de diamètre OK. Son centre est donc le milieu du segment [OK] et son rayon vaut la moitié de la distance OK.
Les deux points de Brocard, notés Ω1 et Ω2, sont définis par deux cycles d'angles égaux. Pour les sommets A, B et C pris dans cet ordre, le premier vérifie . Le second vérifie les égalités obtenues en parcourant le triangle dans l'autre sens. Ces deux points appartiennent au cercle de diamètre OK.
Cette description réunit ainsi quatre points remarquables sur un même cercle : O, K, Ω1 et Ω2. Elle ne dépend ni de la taille du dessin ni de l'orientation choisie pour nommer les sommets. Le cercle de Brocard est également un cas particulier de cercle de Tücker, dans la géométrie projective du triangle.
De quoi c'est fait
La construction mobilise cinq éléments. Le triangle fournit le cadre. Son cercle circonscrit fournit le point O, tandis que ses trois symédianes se rencontrent au point K. Le segment [OK] fixe à la fois le diamètre, le centre et le rayon du cercle de Brocard. Enfin, les deux points Ω1 et Ω2 sont déterminés par les égalités angulaires parcourues dans les deux sens.
O et K suffisent donc à construire le cercle ; les points de Brocard servent à contrôler sa propriété de concours. Inversement, changer l'ordre des sommets échange Ω1 et Ω2, mais ne change ni O, ni K, ni le cercle. La couleur, l'échelle et l'orientation du tracé ne font pas partie de la définition. Le schéma du triangle 3–4–5 matérialise ces dépendances.
Un exemple, pas à pas
Prenons le triangle rectangle dont les sommets ont pour coordonnées A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(0 ; 3). Les longueurs opposées à A, B et C valent respectivement 5, 3 et 4.
Données.
Triangle : A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(0 ; 3).
Longueurs : a = 5, b = 3, c = 4.
Aire : 6 unités carrées.
Triangle : A(0 ; 0), B(4 ; 0), C(0 ; 3).
Longueurs : a = 5, b = 3, c = 4.
Aire : 6 unités carrées.
Étape 1. Comme le triangle est rectangle en A, le centre O du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [BC]. Ainsi, O a pour coordonnées (2 ; 3/2).
Étape 2. Les coordonnées barycentriques du point de Lemoine sont proportionnelles aux carrés des longueurs opposées, soit 25 : 9 : 16. En coordonnées cartésiennes, on obtient .
Étape 3. Le centre M du cercle de Brocard est le milieu de [OK], soit M(34/25 ; 123/100). La longueur OK vaut √193/10 ; le rayon vaut donc √193/20, soit environ 0,695 unité.
Contrôle. Les points de Brocard ont ici pour coordonnées Ω1(900/769 ; 432/769) et Ω2(576/769 ; 1200/769). Pour chacun, le produit scalaire des vecteurs vers O et K est nul : l'angle OΩiK est droit. Le théorème du cercle de diamètre confirme donc que les deux points appartiennent au cercle construit.
En pratique
Pour construire le cercle, il suffit de déterminer O et K, puis de prendre [OK] comme diamètre. Cette voie est préférable à la recherche directe des deux points de Brocard lorsque les médiatrices et les symédianes sont déjà tracées.
Pour vérifier qu'un point candidat appartient au cercle, on peut contrôler que le produit scalaire de ses vecteurs vers O et K est nul. Si ce point est distinct de O et K, cela revient à vérifier que l'angle formé par ses segments vers O et K est droit ; ce test évite de recalculer le centre et le rayon.
Pour étudier les points de Brocard eux-mêmes, leurs égalités d'angles restent le critère qui les définit. Le cercle localise ces points, mais un point quelconque du cercle ne devient pas pour autant un point de Brocard.
À ne pas confondre
Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle et a pour centre O. Le cercle de Brocard passe par O lui-même et par K ; dans le triangle 3–4–5, O est donc un point du cercle de Brocard, pas son centre.
Un point de Brocard est défini par trois angles égaux. Le cercle de Brocard est défini par le diamètre [OK] et contient les deux points de Brocard. Appartenir au cercle ne suffit pas à satisfaire les égalités angulaires.
Le cercle de Tücker désigne une famille plus large de cercles associés au triangle. Le cercle de Brocard en est un membre particulier, reconnaissable ici au passage simultané par O, K, Ω1 et Ω2.
Limites et pièges
Dans un triangle équilatéral, O et K coïncident. Le diamètre [OK] est alors nul : le cercle de Brocard dégénère en un point, où coïncident aussi les deux points de Brocard. Il ne faut pas chercher un cercle ordinaire de rayon positif.
Un triangle dégénéré, dont les trois sommets sont alignés, n'entre pas dans la définition usuelle. Son cercle circonscrit n'est pas défini, donc O et le cercle de Brocard ne le sont pas davantage. Il faut d'abord vérifier que l'aire du triangle est non nulle.
Le choix du sens A–B–C ne crée pas deux cercles. Renverser ce sens échange les noms Ω1 et Ω2, tandis que le diamètre [OK] reste identique. Le symptôme d'une erreur serait d'obtenir deux centres ou deux rayons différents.
Sur un dessin approché, un point peut sembler appartenir au cercle sans satisfaire exactement la propriété. Un contrôle fiable utilise le produit scalaire nul, ou l'équation du cercle, avec une tolérance cohérente avec la précision des coordonnées ; pour un point distinct de O et K, le produit scalaire nul équivaut à l'angle droit OΩiK.
Pour aller plus loin
Le point de Brocard détaille les égalités angulaires qui caractérisent Ω1 et Ω2.
Le point de Lemoine précise le rôle du point K, l'une des extrémités du diamètre.
La symédiane montre comment construire les trois droites dont l'intersection est K.
Le angle de Brocard isole la mesure commune qui définit chacun des deux points remarquables.
Le cercle de Tücker replace le cercle de Brocard dans la famille géométrique mentionnée par la définition.
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