angle de Brocard

Dans un triangle rectangle isocèle, trois segments partent des trois sommets et se rencontrent en un même point intérieur. Chacun fait le même petit angle avec un côté, bien que les angles du triangle ne soient pas tous égaux. Cette ouverture commune est l’angle de Brocard.

Le même phénomène existe dans tout triangle non aplati. Il possède deux orientations cycliques, associées aux deux points de Brocard, mais une seule valeur d’angle.

Soit un triangle euclidien non dégénéré de sommets A, B et C, dont les angles intérieurs portent les mêmes lettres. Un premier point de Brocard, noté Ω, est le point intérieur pour lequel les trois angles ∠ΩAB, ∠ΩBC et ∠ΩCA, pris selon un même ordre cyclique, ont une même mesure. Cette mesure positive est l’angle de Brocard, noté ω. L’autre orientation cyclique définit un second point, noté Ω′, et conduit à la même valeur de ω.

La valeur de l’angle dépend seulement des trois angles du triangle. Elle est caractérisée par l’identité suivante, où cot désigne la cotangente :

Cette relation détermine ω entre 0° et le plus petit angle du triangle. À chaque sommet, les rayons menant à Ω et à Ω′ sont symétriques par rapport à la bissectrice intérieure : ils sont isogonaux. Henri Brocard a étudié cette notion en 1881 dans son mémoire Étude d'un nouveau cercle du plan du triangle.

Deux relations structurent la configuration : la position des points de Brocard dépend de la forme du triangle, et les configurations Ω et Ω′ sont isogonales. Autrement dit, à chaque sommet, les segments dirigés vers Ω et Ω′ sont symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle.

La position de Ω dépend donc de la forme du triangle et du sens cyclique choisi. En revanche, Ω et Ω′ partagent la même valeur de ω. Les trois angles A, B et C suffisent à calculer cette valeur par la somme de leurs cotangentes ; avec l’orientation choisie, les trois rayons correspondants suffisent ensuite à situer le point de concours. La couleur, l’échelle et l’épaisseur du tracé ne font pas partie de la définition.

Considérons le triangle rectangle isocèle ABC représenté par la figure. La lettre ω désigne son angle de Brocard.

Données.
L’angle A mesure 90°.
Les angles B et C mesurent chacun 45°.
La cotangente de 90° vaut 0.
La cotangente de 45° vaut 1.

1. La somme des trois cotangentes vaut exactement :
2. L’identité de Brocard donne donc cot ω = 2.
3. La tangente étant l’inverse de la cotangente ici, tan ω = 1/2.
4. On en déduit :

L’angle de Brocard mesure donc environ 26,565°. Le contrôle se refait sans la figure : la cotangente de l’angle obtenu vaut environ 2, ce qui retrouve la somme exacte 0 + 1 + 1.

Pour calculer l’angle de Brocard à partir des trois angles d’un triangle, on additionne leurs cotangentes, puis on prend l’angle dont la cotangente est cette somme. Si les côtés sont connus plutôt que les angles, il faut d’abord déterminer les angles du triangle.

Pour contrôler une construction d’un point de Brocard, on mesure les trois petites ouvertures prises dans le même sens cyclique. La construction est cohérente lorsqu’elles coïncident à la précision de l’instrument ; le calcul par les cotangentes fournit une vérification indépendante.

Pour comparer deux triangles, la valeur de ω résume cette configuration particulière. Il faut toutefois conserver les trois angles lorsque l’objectif est de décrire toute la forme : un seul nombre ne remplace pas ces données.

Angle de Brocard et point de Brocard. Le point de Brocard est un point intérieur où trois segments concourent ; à chaque sommet, l’angle de Brocard est formé par le côté cyclique et le segment correspondant, ces trois angles étant égaux. Déplacer le dessin sans changer sa forme déplace le point, mais ne change pas l’angle.

Angle de Brocard et angle intérieur du triangle. Les angles A, B et C sont formés par deux côtés au même sommet. L’angle de Brocard est formé par un côté et un segment menant à un point de Brocard. Dans l’exemple rectangle isocèle, ils valent 90° ou 45°, contre environ 26,565° pour ω.

Triangle aplati. Si les trois sommets sont alignés, il n’existe plus de triangle intérieur non dégénéré : les angles et les points de Brocard ordinaires ne sont pas définis par cette construction. Il faut traiter cette figure comme un cas dégénéré, et non appliquer mécaniquement la formule.

Deux sens cycliques. Inverser l’ordre des sommets remplace Ω par Ω′, sans changer ω. Le symptôme du piège est une construction qui semble donner deux points différents malgré une même mesure. Il faut noter le sens choisi. Dans le triangle équilatéral, cas charnière où A = B = C = 60°, les deux points coïncident et ω = 30°.

Arrondis et unité angulaire. La somme des cotangentes donne une valeur exacte lorsque les données le sont, mais l’angle obtenu à la calculatrice est souvent arrondi. Il faut conserver le signe ≈ et vérifier le mode degrés ou radians. Dans l’exemple, 26,565° est une approximation, tandis que tan ω = 1/2 est exact.

Point de Brocard — Pour approfondir le point intérieur qui porte les trois angles cycliques égaux.

Cotangente — Pour revoir la fonction trigonométrique utilisée dans l’identité qui calcule ω.