GéométrieThéorème · Glossaire
théorème d'Alasia
Le théorème d'Alasia est un résultat de géométrie du triangle portant sur les points de Brocard. Soient Ω et Ω' les deux points de Brocard distincts d'un triangle ABC non équilatéral. Le théorème énonce que la droite (ΩΩ') est parallèle au côté (BC) si et seulement si le triangle ABC est isocèle en A, c'est-à-dire que AB = AC. Plus généralement, la droite de Brocard est parallèle à l'un des côtés du triangle si et seulement si ce côté est la base du triangle isocèle correspondant.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier le parallélisme de la droite des points de Brocard à l'égalité de deux côtés.
- Appliquer la réciproque pour identifier le sommet d'un triangle isocèle.
- Vérifier le résultat par un calcul exact sur un triangle 5–5–6.
- Isoler les cas équilatéral et dégénéré où le test ne s'emploie pas tel quel.
En clair
Tracez un triangle ABC, placez ses deux points de Brocard Ω et Ω', puis joignez-les. Dans un triangle isocèle non équilatéral de sommet A, le segment obtenu suit exactement la direction de la base BC. L'image est celle de deux traverses horizontales : la base et la droite passant par les points de Brocard.
Le théorème fonctionne aussi comme un test réciproque. Si ces deux droites sont parallèles, alors les côtés issus de A ont la même longueur.
Définition
Dans un triangle non dégénéré ABC, les points de Brocard Ω et Ω' sont deux points intérieurs définis par un même angle avec les côtés, selon les deux sens de parcours des sommets. La droite (ΩΩ') est la droite passant par ces deux points lorsqu'ils sont distincts.
Lorsque le triangle est non équilatéral, le théorème d'Alasia caractérise alors l'isocélie par une direction : . Le côté BC est la base opposée au sommet A. Le résultat est cyclique : un parallélisme avec CA caractérise l'égalité BA = BC, tandis qu'un parallélisme avec AB caractérise l'égalité CB = CA.
Dans un triangle équilatéral, Ω et Ω' se confondent. La notation (ΩΩ') ne détermine donc plus une droite unique ; ce cas doit être isolé avant d'appliquer le critère de parallélisme.
Le principe
Soit ABC un triangle non dégéné et non équilatéral. On note Ω et Ω' ses deux points de Brocard, supposés distincts. Si AB = AC, alors la droite (ΩΩ') est parallèle à (BC). Réciproquement, si (ΩΩ') est parallèle à (BC), alors AB = AC.
Le même énoncé vaut après permutation des sommets : le côté parallèle est la base, et le sommet opposé est celui d'où partent les deux côtés égaux.
Quand l'utiliser
Le cadre est un triangle euclidien ABC non dégéné : ses trois sommets ne sont pas alignés. Il faut avoir construit les deux points de Brocard et vérifié qu'ils sont distincts, afin que (ΩΩ') soit une droite bien définie. Enfin, le sommet et le côté testé doivent être correctement appariés : pour l'isocélie en A, la base est BC.
Comme contre-cas, prenez A(0 ; 4), B(−3 ; 0) et C(4 ; 0). Les longueurs AB = 5 et AC = 4√2 sont différentes. Le théorème interdit donc de conclure que (ΩΩ') est parallèle à (BC). Si les coordonnées des sommets sont disponibles, comparer directement les deux longueurs constitue une alternative plus immédiate.
Un exemple, pas à pas
Prenons A(0 ; 4), B(−3 ; 0) et C(3 ; 0). Les longueurs opposées à A, B et C sont notées respectivement a, b et c. Ici, a = 6 et b = c = 5. La figure rend visibles la base BC et la droite passant par les deux points de Brocard.
1. Dans les coordonnées barycentriques relatives à ABC, les deux points s'écrivent :
2. En remplaçant a, b et c, on obtient Ω = (900 : 900 : 625) et Ω' = (900 : 625 : 900). Une coordonnée barycentrique donne une moyenne pondérée des trois sommets.
3. Le passage aux coordonnées cartésiennes donne Ω(−33/97 ; 144/97) et Ω'(33/97 ; 144/97). Les deux ordonnées sont donc exactement égales.
4. La droite (ΩΩ') a pour équation y = 144/97, tandis que (BC) a pour équation y = 0. Elles sont parallèles. Le contrôle est refaisable : AB = √(32 + 42) = 5 et AC = 5, conformément au théorème.
En pratique
Dans un problème où les points de Brocard sont déjà construits, un parallélisme donné avec BC suffit à prouver AB = AC. Si les trois longueurs sont connues, leur comparaison directe est plus courte.
Dans un logiciel de géométrie, on peut déplacer A tout en gardant B et C fixes. Le critère est atteint lorsque la droite (ΩΩ') prend la direction de BC ; on contrôle alors que A appartient à la médiatrice de [BC]. Si le seul but est de construire un triangle isocèle, placer directement A sur cette médiatrice est plus simple.
Pour identifier le sommet principal d'un triangle isocèle, on repère d'abord le côté parallèle à (ΩΩ'). Ce côté est la base ; le sommet opposé est le sommet principal.
À ne pas confondre
Avec la médiatrice de [BC]. Dans un triangle isocèle en A, cette médiatrice passe par A et est perpendiculaire à BC. La droite (ΩΩ'), elle, est parallèle à BC. Le sens des deux directions tranche immédiatement.
Avec une hauteur du triangle. La hauteur issue de A rencontre BC à angle droit. Le théorème d'Alasia porte au contraire sur une droite parallèle à BC et passant par les points de Brocard.
Limites et pièges
Triangle équilatéral. Les deux points de Brocard coïncident. Le symptôme est un segment [ΩΩ'] réduit à un point : aucune droite unique ne passe alors « par les deux points ». Il faut traiter l'égalité des trois côtés directement, sans invoquer ce parallélisme.
Triangle dégénéré. Si A, B et C sont alignés, il n'y a plus de triangle intérieur ni de points de Brocard au sens utilisé ici. Une construction qui place les trois sommets sur une même droite doit donc être rejetée avant le test.
Parallélisme seulement visuel. Deux droites presque parallèles sur un tracé approché ne prouvent pas l'isocélie. Il faut comparer leurs directions avec la précision de l'outil ou établir symboliquement le parallélisme.
Mauvaise base. Si (ΩΩ') est parallèle à CA, la conclusion concerne BA et BC, pas AB et AC. Le côté parallèle doit toujours être opposé au sommet de l'isocélie conclue.
Pour aller plus loin
Pour approfondir la construction qui sous-tend le théorème, la fiche point de Brocard détaille les deux points, leur sens de parcours et leur angle commun.
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