point de Brocard

Tracez un triangle et imaginez un point intérieur qui regarde ses trois côtés sous le même angle, en tournant de A vers B, B vers C, puis C vers A. Ce point est le premier point de Brocard, noté Ω. Si l'on parcourt les sommets dans l'autre sens, on obtient le second, noté Ω'.

Dans un triangle quelconque, Ω et Ω' sont généralement distincts. Dans un triangle équilatéral, la symétrie les réunit au centre : les trois angles égaux valent alors 30°.

Dans un triangle non dégénéré ABC, le premier point de Brocard, noté Ω, est le point commun à trois cercles. Le premier passe par A et B et est tangent en B à la droite (BC). Le deuxième passe par B et C et est tangent en C à (CA). Le troisième passe par C et A et est tangent en A à (AB). Cette construction fixe un même sens cyclique, de A vers B, de B vers C, puis de C vers A.

Le second point, noté Ω', s'obtient avec le sens inverse : le cercle passant par A et B est tangent en A à la droite (AC), celui passant par B et C est tangent en B à (BA), et celui passant par C et A est tangent en C à (CB). L'angle commun est l'angle de Brocard, noté ω : $\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }AB=\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }BC=\mathrm{\angle }\mathrm{\Omega }CA=\omega \backslash angle\; \backslash Omega\; AB=\backslash angle\; \backslash Omega\; BC=\backslash angle\; \backslash Omega\; CA=\backslash omega$. Pour Ω', l'ordre des côtés est renversé : $\mathrm{\angle }{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\prime }}AC=\mathrm{\angle }{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\prime }}CB=\mathrm{\angle }{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\prime }}BA=\omega \backslash angle\; \backslash Omega\text{'}\; AC=\backslash angle\; \backslash Omega\text{'}\; CB=\backslash angle\; \backslash Omega\text{'}\; BA=\backslash omega$.

Les deux points sont conjugués isogonaux : dans chacun des trois angles du triangle, les deux droites menées vers Ω et Ω' sont symétriques par rapport à la bissectrice de cet angle. Cette symétrie explique que les deux constructions utilisent le même angle ω avec des orientations opposées.

Prenons un triangle ABC équilatéral de côté 6 cm, avec A au sommet, B à gauche et C à droite. Les trois angles du triangle mesurent 60°. On note O son centre, à l'intersection de ses trois axes de symétrie.

1. Une rotation de 120° autour de O échange A, B et C sans changer le sens cyclique A–B–C. Le premier point de Brocard doit donc rester fixe sous cette rotation : il est en O.

2. Le même raisonnement vaut dans le sens inverse pour le second point. Ainsi, dans ce cas symétrique, $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\prime }}=O\backslash Omega=\backslash Omega\text{'}=O$.

3. La droite AO est une bissectrice de l'angle de 60° au sommet A. L'angle entre AO et AB vaut donc ${60}^{\circ }\mathrm{/}2={30}^{\circ }60^\backslash circ/2=30^\backslash circ$. Par rotation, le même résultat apparaît aux sommets B et C.

Le résultat est donc exact : l'angle de Brocard vaut 30°. Pour le contrôler, mesurez les trois angles orientés indiqués par la définition ; chacun doit être la moitié d'un angle du triangle. La figure rend visibles cette coïncidence et ce contrôle.

Pour construire Ω à la règle et au compas dans un triangle non équilatéral, commencez par le cercle passant par A et B et tangent en B à (BC) : son centre est l'intersection de la médiatrice de [AB] et de la perpendiculaire à (BC) menée en B. Construisez de même le centre du cercle passant par B et C, tangent en C à (CA), puis celui du cercle passant par C et A, tangent en A à (AB). Tracez les trois cercles. Les deux premiers se coupent en B et en un second point intérieur : ce second point est Ω s'il appartient aussi au troisième cercle. Contrôlez chaque tangence en vérifiant que le rayon mené au sommet de tangence est perpendiculaire à la droite correspondante. Pour Ω', reprenez exactement ces étapes avec les tangences inverses données dans la définition.

Dans un logiciel, on déplace un sommet du triangle après la construction. Les trois angles associés à Ω doivent rester égaux malgré la déformation. Si l'on veut seulement repérer un centre à égale distance des sommets, le centre du cercle circonscrit est le bon objet, pas un point de Brocard.

Un triangle équilatéral sert de test immédiat : Ω et Ω' doivent se confondre au centre et l'angle lu doit être 30°. Un autre résultat révèle une erreur d'ordre dans les sommets ou une tangente placée sur la mauvaise droite.

Avec le centre du cercle circonscrit. Ce centre est équidistant des trois sommets ; un point de Brocard est caractérisé par trois angles orientés égaux. Dans un triangle non équilatéral, tester les distances aux sommets tranche entre les deux constructions.

Avec le centre du cercle inscrit. Ce centre appartient aux trois bissectrices et est équidistant des trois côtés. Pour un point de Brocard, le test porte sur l'égalité des angles suivant l'ordre A–B–C ou l'ordre inverse, et non sur les distances aux côtés.

Triangle dégénéré. Si A, B et C sont alignés, il n'y a plus trois angles de triangle dans lesquels définir les directions isogonales. Il faut donc vérifier que les trois sommets ne sont pas alignés avant d'employer cette construction.

Cas équilatéral. Parler de « deux points » ne signifie pas qu'ils sont toujours distincts. Lorsque les trois angles valent 60°, Ω et Ω' se confondent au centre et l'angle de Brocard vaut exactement 30°.

Sens de parcours. Inverser l'ordre des sommets échange Ω et Ω'. Il faut conserver le même ordre cyclique dans les trois comparaisons d'angles, puis utiliser partout l'ordre inverse pour obtenir l'autre point.

Droites et segments. Les tangences de la définition portent sur les droites (AB), (BC) et (CA), qui se prolongent au-delà des côtés. Limiter mentalement une tangente au seul segment peut conduire à rejeter une construction pourtant correcte.

Le « miracle » de Morley. Une autre configuration où les angles d'un triangle font apparaître une construction remarquable.

Les cubiques du triangle. Pour prolonger l'étude des points remarquables par des courbes attachées au triangle.