théorème de Steiner-Lehmus

Dans un triangle, imaginez que l'on partage en deux parts égales l'angle de gauche, puis l'angle de droite. Chaque partage trace un segment jusqu'au côté opposé. Si ces deux segments ont exactement la même longueur, le triangle ne peut pas être quelconque : deux de ses côtés sont égaux.

Le théorème de Steiner-Lehmus transforme ainsi une égalité entre deux bissectrices intérieures en un diagnostic de symétrie du triangle. La réciproque vaut aussi : la symétrie d'un triangle isocèle rend ces deux bissectrices égales.

Le théorème de Steiner-Lehmus est un critère de géométrie euclidienne plane. Considérons un triangle dont les sommets sont A, B et C. La bissectrice intérieure issue de A partage l'angle en A en deux angles égaux et rencontre le côté BC au point E. De même, la bissectrice intérieure issue de B rencontre le côté AC au point D.

Pour comprendre le sens caractéristique, posons a = BC, b = AC et c = AB. La formule de longueur d'une bissectrice intérieure donne alors :

En soustrayant les deux expressions et en factorisant, on obtient :

Tous les facteurs autres que b - a sont strictement positifs : a, b et c sont des longueurs positives, les deux carrés du dénominateur sont non nuls, et chaque terme de l'expression entre crochets est positif. Ainsi, AE = BD annule la différence des carrés et impose b - a = 0, donc AC = BC : le triangle est isocèle en C, avec AB pour base. Dans l'autre sens, si AC = BC, la symétrie échange les constructions issues de A et de B, donc AE = BD.

Le résultat porte sur deux bissectrices intérieures d'un triangle non dégéné. Il ne dit pas que les trois bissectrices doivent être égales. Le triangle équilatéral est inclus comme cas particulier, puisqu'il est aussi isocèle.

Soit un triangle non dégéné ABC. Le point E appartient au côté BC et le segment AE est la bissectrice intérieure de l'angle en A. Le point D appartient au côté AC et le segment BD est la bissectrice intérieure de l'angle en B. Alors :

Autrement dit, ces deux bissectrices ont la même longueur si et seulement si le triangle est isocèle en C.

Le cadre est un triangle euclidien non aplati. Les points D et E doivent se trouver respectivement sur les côtés AC et BC. Il faut en outre supposer que BD et AE sont les bissectrices intérieures des angles en B et en A. Enfin, l'égalité porte sur les longueurs complètes des segments, mesurées dans la même unité. Sous ces conditions, AE = BD permet de conclure AC = BC.

Si A, B et C sont alignés, il n'existe pas de triangle non dégéné ni d'angles intérieurs auxquels appliquer le théorème. Si l'un des segments partage au contraire un angle extérieur, la prémisse n'est plus satisfaite : il faut d'abord identifier les deux bissectrices intérieures.

Considérons le triangle ABC avec AC = 5, BC = 5 et AB = 6. Le point E est le pied sur BC de la bissectrice issue de A ; le point D est le pied sur AC de celle issue de B. La figure associée rend visible la symétrie de cette configuration.

1. Pour une bissectrice de longueur ℓ, notons x et y les longueurs des côtés adjacents à l'angle partagé, et z celle du côté opposé. La formule de longueur utilisée est :

2. Pour la bissectrice AE, on a x = AC = 5, y = AB = 6 et z = BC = 5. La substitution donne :

3. On en déduit $AE=\frac{24\sqrt{5}}{11}AE=\backslash frac\{24\backslash sqrt\{5\}\}\{11\}$, soit environ 4,88 dans l'unité choisie.

4. Inutile de répéter le calcul pour BD : comme AC = BC, la symétrie du triangle échange A et B, donc BD = AE. On obtient ainsi $BD=\frac{24\sqrt{5}}{11}\approx \mathrm{4,88}BD=\backslash frac\{24\backslash sqrt\{5\}\}\{11\}\backslash approx4\{,\}88$.

5. Cet exemple contrôle la réciproque, de AC = BC vers AE = BD. Le sens caractéristique ne repose pas sur ce cas déjà isocèle : la factorisation donnée dans la définition montre séparément pourquoi AE = BD impose AC = BC.

Dans une démonstration, deux bissectrices intérieures de même longueur suffisent à prouver que le triangle est isocèle. Ce critère est utile lorsque l'égalité des côtés n'est pas directement accessible.

Dans une construction déjà symétrique, on emploie plutôt la réciproque. L'égalité AC = BC permet alors d'affirmer AE = BD sans calculer séparément les deux longueurs.

Sur un dessin mesuré, des valeurs seulement proches ne constituent pas une preuve. Il faut tenir compte de la précision de l'instrument, puis établir une égalité exacte par les données ou par un raisonnement géométrique.

Le théorème de la bissectrice intérieure décrit le partage du côté opposé par une bissectrice : il compare deux segments de ce côté aux deux côtés adjacents. Le théorème de Steiner-Lehmus compare, lui, les longueurs de deux bissectrices issues de sommets différents. Dans le triangle de côtés 5, 5 et 6, le premier résultat situe D ou E ; le second relie AE = BD au caractère isocèle.

Une égalité lue à la règle n'est qu'une apparence si l'instrument arrondit les mesures. Par exemple, deux lectures de 4,9 peuvent masquer des longueurs différentes. Le critère exige une égalité exacte, obtenue par hypothèse ou démonstration.

Le mot « isocèle » signifie ici qu'au moins deux côtés sont égaux. Un triangle équilatéral satisfait donc le théorème : ses trois bissectrices sont égales, ce qui fournit plusieurs paires admissibles.

Remplacer une bissectrice intérieure par une bissectrice extérieure change la configuration. Le segment n'atteint plus le côté opposé comme l'exige l'énoncé ; aucune conclusion isocèle ne peut alors être tirée de ce théorème.

La simplicité de l'énoncé ne suffit pas à en démontrer le sens caractéristique : il ne faut pas confondre une vérification symétrique de la réciproque avec une preuve que l'égalité des deux bissectrices impose un triangle isocèle.

La fiche bissectrice intérieure précise la construction utilisée par le théorème et la relation de partage du côté opposé.