GéométrieFormule · Glossaire
formule des sinus
Dans tout triangle euclidien non dégénéré, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés : le rapport entre un côté et le sinus de l’angle situé en face est le même pour les trois paires et vaut le diamètre du cercle circonscrit. Cette relation permet de calculer une longueur ou de rechercher un angle inconnu dès qu’une paire côté-angle opposé et l’un des deux éléments d’une autre paire sont connus ; dans le cas ambigu côté-côté-angle, deux angles peuvent convenir et doivent être testés.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Associer correctement chaque côté à son angle opposé.
- Calculer deux côtés et le rayon du cercle circonscrit dans un exemple contrôlé.
- Choisir entre formule des sinus et loi des cosinus selon les données.
- Repérer l’ambiguïté côté-côté-angle et le cas dégénéré.
En clair
Imaginez un triangle dont on connaît un côté et les angles. Face à un angle plus grand, le côté est plus long. La formule des sinus mesure précisément ce lien : elle compare chaque côté au sinus de l’angle situé en face.
Dans un même triangle, les trois comparaisons donnent la même valeur. On peut donc partir d’une paire connue — un côté et son angle opposé — pour retrouver un autre côté. Cette valeur commune révèle aussi le diamètre du cercle qui passe par les trois sommets.
Définition
La formule des sinus est une relation métrique valable dans tout triangle euclidien non dégénéré. On note A, B et C les mesures des trois angles, puis a, b et c les longueurs des côtés qui leur sont respectivement opposés. Les sinus des angles ne sont alors pas nuls.
Si R désigne le rayon du cercle circonscrit au triangle et S son aire, la relation complète est :
Chaque quotient compare une longueur au sinus de l’angle opposé. Leur valeur commune est le diamètre 2R du cercle circonscrit. L’égalité avec résulte de la formule de l’aire utilisant deux côtés et l’angle compris.
La relation détermine un côté lorsqu’une paire côté-angle opposé et un autre angle sont connus. Avec deux côtés et un angle opposé à l’un d’eux, elle peut déterminer un angle, mais parfois deux triangles différents satisfont les mêmes données.
Le principe
Soit un triangle ABC non dégénéré. Les côtés de longueurs a, b et c sont opposés aux angles de mesures A, B et C. Alors :
où R est le rayon du cercle circonscrit. Pour calculer un côté inconnu, on égalise son quotient à celui d’une paire côté-angle opposé déjà connue, puis on isole la longueur recherchée.
Quand l'utiliser
La formule s’applique à un triangle euclidien non aplati. Chaque longueur doit être associée à l’angle qui lui fait face, et toutes les mesures d’angles doivent employer la même unité dans le calcul des sinus. Pour obtenir une longueur, il faut connaître au moins une paire formée d’un côté et de son angle opposé, ainsi qu’un autre angle.
Deux côtés et leur angle compris ne fournissent aucune paire opposée complète : la formule des sinus ne démarre pas directement. On calcule d’abord le troisième côté avec la loi des cosinus. Si trois côtés sont connus, la loi des cosinus est également l’outil direct pour obtenir un premier angle.
Un exemple, pas à pas
Un triangle ABC possède un angle A de 30°, un angle B de 45° et un côté opposé à A de longueur a = 10 cm. On cherche les côtés b et c, opposés à B et C, puis le rayon R du cercle circonscrit.
1. La somme des angles donne .
2. Pour le côté b : .
3. Pour le côté c : .
4. Enfin, , donc R = 10 cm. Le contrôle est refaisable avec b : le quotient vaut exactement 20 cm. La figure montre que les trois sommets appartiennent bien au cercle de rayon 10 cm.
En pratique
En triangulation, une base mesurée et deux directions donnent deux angles. La formule des sinus transforme alors ces observations en distances vers un point inaccessible.
Pour résoudre un triangle, elle est le bon réflexe dès qu’un côté et son angle opposé forment une paire connue. Si les données sont plutôt trois côtés, ou deux côtés avec l’angle compris, la loi des cosinus convient mieux.
Elle relie aussi directement un triangle à son cercle circonscrit. Une seule paire côté-angle opposé suffit alors pour calculer le rayon R grâce à l’égalité entre le quotient correspondant et 2R.
À ne pas confondre
Avec la loi des cosinus. La formule des sinus associe chaque côté à son angle opposé ; la loi des cosinus relie trois côtés et le cosinus d’un angle. Avec deux côtés et l’angle compris, on choisit la loi des cosinus.
Avec les rapports trigonométriques du triangle rectangle. Les égalités sinus = opposé/hypoténuse, cosinus = adjacent/hypoténuse et tangente = opposé/adjacent supposent un triangle rectangle. La formule des sinus, elle, compare les trois paires opposées d’un triangle quelconque.
Limites et pièges
Cas ambigu côté-côté-angle. Si deux côtés et un angle non compris sont connus, l’équation d’un sinus peut donner deux angles supplémentaires dans l’intervalle de 0° à 180°. Il faut tester les deux possibilités et conserver seulement celles dont la somme des angles reste inférieure à 180°.
Triangle aplati. Quand un angle vaut 0° ou 180°, son sinus est nul, l’aire est nulle et le cercle circonscrit n’a plus de rayon fini. Les quotients de la formule ne sont donc pas définis ; il faut traiter cette configuration comme dégénérée.
Arrondis trop précoces. Avec un angle très petit, une légère erreur angulaire peut fortement modifier la longueur calculée. Il faut conserver les valeurs exactes ou plusieurs décimales pendant les étapes, puis arrondir seulement le résultat final avec son unité.
Pour aller plus loin
Le centre du cercle circonscrit éclaire géométriquement la valeur commune 2R : elle est le diamètre du cercle passant par les trois sommets.
Le cosinus d’un angle prépare l’étude de la loi des cosinus, complémentaire lorsque les données ne comportent pas de paire côté-angle opposé.
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