GéométrieThéorème · Glossaire
théorème d'Al-Kashi
Le théorème d'Al-Kashi, aussi appelé loi des cosinus ou théorème de Pythagore généralisé, exprime la relation entre les longueurs des côtés d'un triangle quelconque et le cosinus d'un de ses angles. Dans un triangle ABC de côtés a, b, c (où a est le côté opposé à l'angle A) : a² = b² + c² − 2bc cos A. Ce résultat généralise le théorème de Pythagore, qui en est le cas particulier lorsque A est un angle droit (cos 90° = 0). Le théorème est attribué au mathématicien et astronome Al-Kashi, qui l'utilisa notamment pour calculer une valeur de π avec 14 décimales exactes, en s'appuyant sur la méthode de calcul du périmètre de polygones réguliers inscrits dans un cercle initiée par Archimède. La formule sert de base à une relation de récurrence permettant, en doublant à chaque étape le nombre de côtés du polygone inscrit, d'approximer π avec une précision croissante. D'autres formules sont également associées au nom d'Al-Kashi, dont l'une donne une approximation de l'aire d'une sphère.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Associer chaque côté à l’angle opposé dans la formule d’Al-Kashi.
- Calculer le troisième côté à partir de deux côtés et de l’angle compris.
- Réorganiser la relation pour retrouver un angle lorsque les trois côtés sont connus.
- Reconnaître le théorème de Pythagore comme le cas où l’angle vaut 90°.
- Éviter les erreurs de lettres, de cas dégénéré et d’arrondi.
En clair
Imaginez un triangle dont vous mesurez deux côtés et l’angle qu’ils forment. Ces trois données déterminent la longueur du troisième côté. L’angle indique comment les deux côtés s’écartent : plus il s’ouvre, plus le côté opposé s’allonge.
Le théorème d’Al-Kashi traduit exactement cette idée. Il corrige la somme des carrés des deux côtés connus grâce au cosinus de l’angle compris entre eux.
Définition
Le théorème d’Al-Kashi, ou loi des cosinus, est une relation métrique valable dans tout triangle. Considérons un triangle ABC. La longueur a désigne le côté BC, opposé à l’angle A ; la longueur b désigne le côté CA ; la longueur c désigne le côté AB. Ces quatre grandeurs vérifient :
La même relation s’écrit pour chacun des trois angles en permutant les lettres. Lorsque A est droit, son cosinus vaut zéro et le terme correctif disparaît : on retrouve le théorème de Pythagore. C’est pourquoi la loi des cosinus est aussi appelée théorème de Pythagore généralisé. Le résultat est attribué au mathématicien et astronome Al-Kashi. Il l’employa dans une méthode issue des polygones réguliers inscrits initiée par Archimède : une récurrence doublait le nombre de côtés pour approcher π avec une précision croissante, jusqu’à 14 décimales exactes. D’autres formules portent son nom, notamment une approximation de l’aire d’une sphère.
Le principe
Si ABC est un triangle, si a est la longueur du côté opposé à l’angle A, et si b et c sont les longueurs des deux côtés qui forment cet angle, alors : . Le terme ajuste la relation de Pythagore à l’ouverture de l’angle A. Le dessin d’un triangle de côtés adjacents 5 cm et 7 cm rend visibles ces données et le côté recherché.
Quand l'utiliser
La relation s’applique à un triangle et à un angle intérieur clairement associé à son côté opposé. Pour calculer ce côté, il faut connaître les longueurs des deux côtés qui encadrent l’angle, ainsi que la mesure de cet angle. Les trois longueurs doivent employer la même unité.
Avec des côtés de 5 cm et 7 cm mais sans la mesure de l’angle qu’ils forment, le troisième côté n’est pas déterminé : plusieurs triangles sont possibles. Il faut alors obtenir cet angle, ou disposer d’un autre ensemble de données suffisant, avant d’appliquer la formule. De même, employer un angle qui n’est pas compris entre les deux côtés choisis associe les mauvaises lettres et produit un calcul sans rapport avec le côté visé.
Un exemple, pas à pas
Dans le triangle ABC, le côté AB mesure 5 cm, le côté AC mesure 7 cm et l’angle A compris entre eux mesure 60°. On cherche la longueur a du côté BC, opposé à cet angle.
1. Remplaçons b par 7, c par 5 et A par 60° : .
2. Comme , le terme correctif vaut .
3. Ainsi, .
4. La longueur cherchée est donc .
2. Comme , le terme correctif vaut .
3. Ainsi, .
4. La longueur cherchée est donc .
Le contrôle consiste à remettre la valeur exacte dans l’égalité : 39 = 49 + 25 − 35. De plus, √39 est comprise entre 2 et 12, les deux bornes obtenues par la différence et la somme des côtés connus ; la longueur calculée peut donc fermer le triangle.
En pratique
Quand deux côtés d’un triangle et l’angle qu’ils forment sont connus, la loi des cosinus donne le troisième côté. Si l’angle est droit, le terme en cosinus s’annule et le théorème de Pythagore suffit.
Quand les trois côtés sont connus, la même égalité peut être réorganisée pour retrouver un angle. Pour l’angle A, on calcule d’abord , puis on détermine l’angle ayant ce cosinus.
Dans le calcul historique de π attribué à Al-Kashi, la relation intervient dans une récurrence sur des polygones réguliers inscrits. À chaque étape, le nombre de côtés est doublé et leur périmètre fournit une approximation plus précise de π.
À ne pas confondre
Le théorème de Pythagore. Il concerne le cas testable où l’angle A mesure 90°. Pour un angle de 60°, par exemple, le terme en cosinus n’est pas nul : il faut conserver la loi des cosinus complète.
Le cosinus d’un angle. Le cosinus est une valeur associée à l’angle ; le théorème d’Al-Kashi est l’égalité qui relie cette valeur aux trois côtés. Connaître seulement cos A ne fixe aucune longueur tant qu’aucune échelle n’est donnée.
Limites et pièges
Le seuil de 90°. À 90°, cos A = 0 et la formule devient exactement celle de Pythagore. Pour un angle aigu, le terme correctif est soustrait ; pour un angle obtus, le cosinus est négatif et cette soustraction augmente a².
Les positions dégénérées. À la limite A = 0°, la formule donne a = |b − c| ; à A = 180°, elle donne a = b + c. Les trois sommets sont alors alignés : il ne s’agit plus d’un triangle ordinaire.
Les lettres mal appariées. Le côté a doit être opposé à l’angle A, tandis que b et c encadrent cet angle. Si le côté calculé touche A, il faut renommer les données avant toute substitution.
Les arrondis prématurés. Arrondir le cosinus avant la fin peut dégrader la longueur obtenue. Il faut conserver la valeur exacte lorsqu’elle est connue, comme cos 60° = 1/2, puis arrondir seulement la longueur finale.
Pour aller plus loin
théorème de Pythagore — Étudier en détail le cas particulier où l’angle compris est droit.
cosinus d'un angle — Approfondir la valeur trigonométrique qui commande le terme correctif de la formule.
Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) — Comparer l’approximation de π par les polygones à une autre méthode de calcul.
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